Probas et Suites – Conditionnelle, arbre, géométrique – Terminale S

novembre 15th, 2013

Category: Algorithmique, Probabilités, Lois, Fluctuations, Suites, Terminale S

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Exercice N°321 :

Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.
La probabilité que la première cible soit atteinte est 1/2.
Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est 3/4.
Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est 1/2.

On note, pour tout entier naturel non nul n,
An l’événement “la n-ième cible est atteinte”.
An l’événement “la n-ième cible n’est pas atteinte”. est “barre”.
an la probabilité de l’événement An.
bn la probabilité de l’événement An.

1) a1 et b1, puis calculer a2 et b2 (on pourra utiliser un arbre pondéré).

2) Montrer que, pour tout entier naturel n ≥ 1 :
an+1 = 3/4an + 1/2bn puis an+1 = 1/4an + 1/2.

3) Écrire, en langage naturel, un algorithme qui donne le terme de rang n de cette suite.

On considère la suite (un) définie sur ℕ* par : un = an2/3

4) Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

5) En déduire l’expression de un en fonction de n, puis l’expression de an en fonction de n.

6) Déterminer la limite de la suite (an).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Fonctions – Définition, tableau de variation, équation – Première ES

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