Probas et Suites – Loi, espérance, arbre, limite – Terminale S

novembre 15th, 2013

Category: Probabilités, Lois, Fluctuations, Suites, Terminale S

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Exercice N°324 :

Au cours d’une séance, un joueur de tennis s’entraîne à faire des services.
Pour tout entier naturel non nul, on note Rn l’événement “le joueur réussit le n-ième service” et Rn l’événement contraire. est “barre”.

Soit xn la probabilité de Rn et yn celle de Rn.
La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à 0,7.
On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées :
• si le joueur réussit le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,8 ;
• si le joueur ne réussit pas le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,7.

On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services.

1) Déterminer la loi de probabilité de X. (On pourra utiliser un arbre de probabilité).

2) Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.

On s’intéresse maintenant au cas général.

3) Donner les probabilités conditionnelles P(Rn+1 sachant Rn) et P(Rn+1 sachant Rn).

4) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a :
xn+1 = 0,1xn + 0,7.

Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel non nul par
un = 9xn − 7.

5) Déterminer la nature de la suite (un).

6) En déduire la limite de la suite (xn).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Probas et Suites – Récurrence, arbre, raison, limite – Terminale S

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