Probas et Suites – Récurrence, arbre, raison, limite – Terminale S

novembre 15th, 2013

Category: Probabilités, Lois, Fluctuations, Suites, Terminale S

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Exercice N°323 :

On considère plusieurs sacs de billes S1, S2, . . . , Sn, . . . tels que :
– le premier, S1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes;
– chacun des suivants, S2, S3, . . . , Sn, . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs, effectués ainsi :
– on tire au hasard une bille dans S1 ;
– on place la bille tirée de S1 dans S2, puis on tire au hasard une bille dans S2 ;
– on place la bille tirée de S2 dans S3, puis on tire au hasard une bille dans S3 ;
– etc.

Pour tout entier n ≥ 1, on note En l’événement : « la bille tirée dans Sn est verte » et p(En) est sa probabilité.

1) D’après l’énoncé, donner les valeurs de p(E1), p(E2 sachant E1), p(E2 sachant E1). est « barre ». En déduire la valeur de p(E2).

2) A l’aide d’un arbre pondéré, exprimer p(En+1) en fonction de p(En).

On considère la suite (un) définie par son premier terme u1 = 2/5 et par la relation de récurrence :
un+1 = 1/5un + 2/5 pour tout n ≥ 1.

3) La suite (vn) est définie pour tout n ≥ 1 par : vn = un1/2. Démontrer que (vn) est géométrique, et préciser sa raison et son premier terme.

4) Déduire du 3) l’expression de un en fonction de n, pour tout n ≥ 1.

5) Déterminer la limite de la suite (un).

Bon courage,
Sylvain

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