Probas et Suites – Récurrence, arbre, raison, limite – Terminale S

novembre 15th, 2013

Category: Probabilités, Lois, Fluctuations, Suites, Terminale S

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Exercice N°323 :

On considère plusieurs sacs de billes S1, S2, . . . , Sn, . . . tels que :
– le premier, S1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes;
– chacun des suivants, S2, S3, . . . , Sn, . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs, effectués ainsi :
– on tire au hasard une bille dans S1 ;
– on place la bille tirée de S1 dans S2, puis on tire au hasard une bille dans S2 ;
– on place la bille tirée de S2 dans S3, puis on tire au hasard une bille dans S3 ;
– etc.

Pour tout entier n ≥ 1, on note En l’événement : “la bille tirée dans Sn est verte” et p(En) est sa probabilité.

1) D’après l’énoncé, donner les valeurs de p(E1), p(E2 sachant E1), p(E2 sachant E1). est “barre”. En déduire la valeur de p(E2).

2) A l’aide d’un arbre pondéré, exprimer p(En+1) en fonction de p(En).

On considère la suite (un) définie par son premier terme u1 = 2/5 et par la relation de récurrence :
un+1 = 1/5un + 2/5 pour tout n ≥ 1.

3) La suite (vn) est définie pour tout n ≥ 1 par : vn = un1/2. Démontrer que (vn) est géométrique, et préciser sa raison et son premier terme.

4) Déduire du 3) l’expression de un en fonction de n, pour tout n ≥ 1.

5) Déterminer la limite de la suite (un).

Bon courage,
Sylvain

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