Second degré – Fonctions, sommet, variation, inéquation – Première S

février 4th, 2014

Category: Equations et Inéquations, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première S

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Exercice N°374 :

On considère les fonctions f et g définies sur ℝ par
f(x) = 3x2 – 4x – 4
et
g(x) = -3x2 + 6x + 12,
et on note Cf et Cg les représentations graphiques de ces deux fonctions dans un repère orthogonal.
Cf est donnée dans ce repère ci-dessous.

exo374_a

1) Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole Cg.

2) Dresser le tableau de variation de g puis tracer Cg dans le même repère que Cf.

3) Résoudre par le calcul l’inéquation
3x2 – 4x – 4 > -3x2 + 6x + 12.

4) Comment peut-on contrôler graphiquement l’ensemble de solution obtenu dans la question précédente ?

Question indépendante :

ABCD est un carré de côté 8cm et M est un point du segment [AB].
On partage alors le carré en quatre rectangles comme l’indique la figure,
et on note Ag l’aire du domaine coloré en gris sur la figure ci-dessous.

exo374_b

5) J’affirme qu’il existe une seule position de M pour laquelle l’aire Ag est égale à la moitié de l’aire du carré ABCD. Est-ce vrai ?

Bon courage,
Sylvain

Corrigé : Corrigé N°374 – Second degré, sommet, variation, fonction – Première S

Exercice précédent : Statistiques – Quartiles, diagramme en boîte, écart – Première S

Recherches utilisées pour trouver cet articleExercices sur le second degré variations en première S

1 commentaire

  • Sylvain Jeuland dit :

    1) g(x) = -3x² + 6x + 12,
    Les coordonnées du sommet d’une parabole sont :
    xSommet = -b/2a
    = -6/-6
    = 1

    ySommet = g(xSommet)
    = g(1) = -3*1² + 6*1 + 12 = -3 + 6 + 12 = 15.
    Ou alors ySommet = /4a
    = -(6*6 – 4*(-3)*12)/-12
    = -180/-12
    = 15.

    Les coordonnées du sommet sont (1 ; 15).

    2) Comme a = -3 < 0, la parabole est tournée vers le bas. La fonction est donc croissante jusqu'à x = 1 (flèche descendante jusqu'à 15 dans le tableau), puis décroissante à droite de x = 1 (flèche montante dans le tableau).

    x|-∞ 1 +∞
    variation de f | décroissante 15 croissante

    Pour tracer une courbe, il faut faire le tableau de valeurs avant :
    x| -2 -1 0 1 2 3 4
    g(x) | -2 3 12 15 12 3 -12
    Puis placer les points et les relier avec la courbe.

    3) 3x² – 4x – 4 > -3x² + 6x + 12
    Pour résoudre une inéquation, il faut passer tout à gauche en soustrayant par un membre.
    3x² – 4x – 4 – (-3x² + 6x + 12) > 0
    3x² – 4x – 4 + 3x² – 6x – 12 > 0
    6x² – 10x – 16 > 0
    Pour résoudre une inéquation avec 0 à droite, on fait le tableau de signes de l’expression. Ici, c’est un polynôme du second degré donc on calcule le discriminant.
    Δ = b2 – 4ac
    = (-10)*(-10) – 4*6*(-16)
    = 100 + 384 = 484 > 0
    On a donc deux racines :
    x1 = (-b – √Δ)/2a
    = (-(-10) – √484)/12
    = (10 – 22)/12
    = (-12)/12
    = -1.

    x2 = (10 + 22)/12
    = 32/12 = 8/3.

    Les racines sont -1 et 8/3, on les place dans la ligne x du tableau de signes.
    x|-∞ -1 8/3 +∞
    signe | + 0 – 0 + car a = 6 > 0 et signe de a à l’extérieur des racines.

    Comme on veut 6x² – 10x – 16 > 0, on prend les “+” mais on ne prend pas les “0”.
    S = ]-∞ ; -1[ U ]8/3 ; +∞[.

    4) Pour contrôler graphiquement que cet ensemble correspond,
    on regarde sur quel intervalle de x, Cf est au dessus de Cg
    car l’inéquation 3x² – 4x – 4 > -3x² + 6x + 12
    correspond à f(x) > g(x).
    On ne prend pas les points d’intersection car l’inégalité est stricte (pas de =).

    5) Ag est égale à la moitié de l’aire du carré ABCD
    Cela correspond à :
    Ag = (1/2)*AireCarré
    AM2 + (8 – AM)2 = (1/2)*82
    x2 + (8 – x)2 = 32
    x2 + 82 – 16x + x2 – 32 = 0
    2x2 – 16x + 32 = 0
    x2 – 8x + 16 = 0
    Δ = 64 – 4*1*16 = 0.
    Un seule racine double -b/2a donc oui, il existe un seul x qui est solution de notre équation du second degré donc une seule valeur de AM qui correspond (AM = 4).


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