Second degré – Forme canonique, variation, sommet, axes – Première S

février 6th, 2014

Category: Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première S

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Exercice N°378 :

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 5x² + 4x – 1. On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1) Déterminer les racines de f et factoriser f(x).

2) Mettre f(x) sous forme canonique.

3) Étudier le signe de f(x) selon les valeurs de x.

4) Justifier les variations de f.

5) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe de f avec l’axe des ordonnées.

6) Déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbe de f avec la droite d’équation : y = 4x + 4.

Questions indépendantes :

Dans chacun des cas suivants, déterminer l’expression de la fonction f polynôme du second degré, représentée par la parabole (P).

7) (P) a pour sommet S(-1 ; 2) et passe par le point A(2 ; 20).

8) (P) coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses -1 et 5 et l’axe des ordonnées au point d’ordonnée -10.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Inéquations – Equation, signe, second degré, rationnelle – Première S

1 commentaire

  • Sylvain Jeuland dit :

    1) f(x) = 5x² + 4x – 1
    Je calcule Δ = b2 – 4ac
    = 16 – 4*5*(-1) = 36 > 0.

    x1 = (-b – √Δ)/2a
    = (-4 – √36)/10
    = (-4 – 6)/10
    = -1

    x2 = (-4 + 6)/10
    = 1/5.

    La forme factorisée est f(x) = a(x – x1)(x – x2)
    = 5(x – (-1))(x – 1/5)
    = 5(x + 1)(x – 1/5)

    2) La forme canonique d’une fonction polynôme s’écrit :
    a(x – xSommet)2 + ySommet

    xSommet = -b/2a
    = -4/10
    = -2/5

    ySommet = /4a
    = -36/20
    = -9/5

    Donc f(x) = 5(x – (-2/5))2 + (-9/5).

    3) Pour étudier le signe, on reprend les racines -1 et 1/5 et on fait le tableau de signe. Le signe de a = 5 est positif. On met le “+” à l’extérieur des racines.

    x|-∞ -1 1/5 +∞
    signe| + 0 – 0 +

    4) Comme a > 0, la parabole est tournée vers le haut. La fonction est décroissante sur ]-∞ ; xSommet=-2/5] et croissante sur [-2/5 ; xSommet[.

    5) Pour avoir l’intersection d’une courbe avec l’axe des ordonnées, cela veut dire que x = 0 et y = f(0). On fait donc y = f(0) = 5*0² + 4*0 – 1 = -1.
    L’intersection est le point de coordonnées (0 ; -1).

    6) Pour avoir les intersections de Cf et de la droite d’équation y = 4x + 4, on résout l’équation :
    f(x) = 4x + 4
    5x² + 4x – 1 = 4x + 4
    On soustrait par 4x + 4 pour laisser 0 à droite.
    5x² – 5 = 0
    On peut calculer le discriminant ou factoriser par 5.
    5(x² – 1) = 0
    5(x + 1)(x – 1) = 0
    5 = 0 ou x + 1 = 0 ou x – 1 = 0
    Du coup, x = -1 ou x = 1.
    Les points d’intersection sont (-1 ; f(-1)) et (1 ; f(1)).

    7) (P) a pour sommet S(-1 ; 2) et passe par le point A(2 ; 20).
    On a donc les coefficients a, b, c d’un trinôme f(x) = ax² + bx + c à trouver.
    Le sommet a comme abscisse -1 qui vaut -b/2a, cela donne b = 2a.

    De plus, f(-1) = 2 et f(2) = 20.
    Donc a*(-1)² + b*(-1) + c = a – b + c = 2.
    Donc a*2² + b*2 + c = 4a + 2b + c = 20.

    On sait que b = 2a donc :
    a – 2a + c = 2
    4a + 2*2a + c = 20

    On obtient le système :
    { -a + c = 2
    { 8a + c = 20
    J’isole le c.
    { c = 2 + a
    { c = 20 – 8a

    Comme on a c = c, on a 2 + a = 20 – 8a.
    9a = 18 donc a = 2.
    On remonte à c = 2 + a = 2 + 2 = 4.
    Puis à b = 2*a = 2*2 = 4.
    Donc f(x) = 2x² + 4x + 4.

    8) (P) coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses -1 et 5 et l’axe des ordonnées au point d’ordonnée -10.
    Cela veut dire que les racines sont -1 et 5. On peut utiliser la forme factorisée :
    f(x) = a(x – x1)(x – x2)
    = a(x – (-1))(x – 5)
    = a(x + 1)(x – 5)
    Sur l’axe des ordonnées, x = 0. On a f(0) = -10.
    a(0 + 1)(0 – 5) = -10
    -5a = -10
    a = -10/(-5) = 2.
    Donc f(x) = 2(x + 1)(x – 5).


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