Second degré – Points d’intersection, forme canonique – Première S

février 6th, 2014

Category: Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première S

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Exercice N°380 :

Soit la parabole (P) d’équation :
y = -9x2 + 60x – 80
et (D) la droite d’équation :
y = 5x + 4.

1) Sur l’écran de votre calculatrice, tracer (P) et (D) et conjecturer le nombre de points d’intersection de (P) et (D).

2) Déterminer par le calcul les abscisses des points d’intersection de (P) et (D).

Soit f la fonction définie sur R par
f(x) = 2x2 + 2x – 24.
On note (C) sa courbe représentative.

3) Déterminer la forme canonique de f.

4) Factoriser f(x).

5) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses et avec l’axe des ordonnées.

6) Indiquer la position de (C) par rapport à l’axe des abscisses.

Bon courage,
Sylvain

Corrigé : Corrigé N°380 – Second degré, intersections, canonique – Première S

Exercice précédent : Inéquations – Equation, second degré, rationnelle, racine – Première S

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1 commentaire

  • Sylvain Jeuland dit :

    1) Courbes parabole second degré et droite fonction affine

    Je conjecture (vois et dis) qu’il y a un unique point d’intersection. Mais on ne voit pas bien. Je vais donc resserrer la fenêtre ci-dessous. Le xmin est 2.75, le xmax est 3.25, le ymin est 18.5 et le ymax est 20.5.

    Zoom sur points d'intersection, fenêtre d'affichage calculatrice

    En fait, tu peux conjecturer deux points d’intersection.

    2) Pour obtenir les points d’intersection de deux courbes, on résout l’équation ici :
    < => P(x) = D(x)
    < => yP = yD
    < => -9x² + 60x – 80 = 5x + 4
    Pour résoudre une équation avec des x², il est utile d’avoir tout à gauche et de laisser 0 à droite.
    < => -9x² + 60x – 80 – (5x + 4) = 0
    < => -9x² + 55x – 84 = 0
    C’est un polynôme du second degré, tu peux calculer le discriminant.
    Δ = b² – 4ac = 55² – 4*(-9)*(-84)
    = 3025 – 3024 = 1 > 0

    On a deux solutions :
    x1 = (-b – √Δ)/2a
    = (-55 – √1)/-18
    = (-56)/-18
    = 28/9

    x2 = (-55 + 1)/-18
    = (-54)/-18
    = 3
    Les abscisses des points d’intersection de (P) et (D) sont donc 28/9 et 3.

    3) f(x) = 2x² + 2x – 24
    La forme canonique d’une fonction polynôme s’écrit :
    a(x – xSommet)2 + ySommet

    xSommet = -b/2a
    = -2/4
    = -1/2

    ySommet = /4a
    = -196/8
    = -49/2

    Donc f(x) = 2(x – (-1/2))2 + (-49/2).

    4) Comme Δ = 196 > 0, la forme factorisée s’écrit :
    f(x) = a(x – x1)(x – x2)

    x1 = (-2 – √Δ)/2a
    = (-2 – √196)/4
    = (-2 – 14)/4
    = (-16)/4
    = -4

    x2 = (-2 + 14)/4
    = (12)/4
    = 3

    Donc f(x) = 2(x -(-4))(x – 3) = 2(x + 4)(x – 3)

    5) Pour avoir les points d’intersection avec l’axe des ordonnées, on prend x = 0, donc on calcule y = f(0) = 2(0 + 4)(0 – 3) = -24.
    Le point est donc (0 ; -24).

    Pour avoir les points d’intersection avec l’axe des abscisses, c’est à dire que leur y = 0, on résout f(x) = 0. On reprend les racines du trinôme x1 et x2.
    Les points sont (-4 ; 0) et (3 ; 0).

    6) (C) est au-dessus de l’axe des abscisses quand le polynôme f(x) est positif.
    On peut faire un tableau de signes avec a = 2 > 0. Cela veut dire que f(x) est positif à l’extérieur des racines.

    x|-∞ -4 3 +∞
    signe|+ 0 – 0 +

    Sur ]-∞ ; -4[ (C) est au dessus de l’axe des abscisses.
    En -4, point d’intersection.
    Sur [-4 ; 3], (C) est en dessous de l’axe des abscisses.
    En 3, point d’intersection.
    Sur [3 ; +-∞[, (C) est au dessus de l’axe des abscisses.

    Parabole tournée vers le haut, sommet en bas, minimum


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