Second degré – Triangles, forme canonique, inéquations – Première S

février 8th, 2014

Category: Equations et Inéquations, Factorisation et Développement, Polynômes et Rationnelles, Première S

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Exercice N°382 :

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 18 et AC = 8.
On place le point E sur [AB] et le point F sur [AC] tels que AF = BE.

exo382_a

1) En posant x = AF, déterminer x tel que l’aire du triangle AEF soit égale à la moitié de l’aire du triangle ABC.

Autre chose :

2) Déterminer la forme canonique de la fonction f définie sur R par :
f(x) = 2x2 + 9x − 5.

3) En déduire que f(x) ≥ –121/8 pour tout x ∈ R.

Encore autre chose :

4) Résoudre les équations suivantes :

−2x2 − 16x − 32 = 0,

5) 4/(x − 1)3/(x − 2) = −1.

6) Résoudre les inéquations suivantes :

6x2 − 13x + 6 > 0,

7) −3x2 + 2x − 1 ≤ 0.

Bon courage,
Sylvain

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1 commentaire

  • Sylvain Jeuland dit :

    1) L’aire du triangle AEF est égale à la moitié de l’aire du triangle ABC.
    Cela revient à :
    AireAEF = (1/2)*AireABC
    Les triangles sont rectangles en A donc le Base*Hauteur/2 devient Côté1*Côté2/2 en prenant les deux côtés auprès de l’angle droit.
    AF*AE/2 = (1/2)*AC*AB/2
    AF*AE = (1/2)*AC*AB (en multipliant par 2 de chaque côté du “=”).
    x*(18-x) = (1/2)*8*18
    -x2 + 18x – 72 = 0
    Nous avons une équation du second degré, calculer le discriminant est utile.
    Δ = 182 – 4*(-1)*(-72)
    = 324 – 288 = 36 > 0.

    x1 = (-b – √Δ)/2a
    = (-18 – √36)/-2
    = (-18 – 6)/-2
    = (-24)/-2 = 12.

    x2 = (-18 + 6)/-2
    = (-12)/-2 = 6.

    x ne peut pas être égal à 12 car il ne peut pas dépasser AC = 8 car F ne peut pas aller au-dessus de C.
    Donc x = 6.

    2) 2x² + 9x − 5
    La forme canonique d’une fonction polynôme s’écrit :
    a(x – xSommet)2 + ySommet

    xSommet = -b/2a
    = -9/4

    ySommet = /4a
    = -(81 – 4*2*(-5))/8
    = -(121)/8

    Donc f(x) = 2(x – (-9/4))2 + (-121/8).

    3) Comme un carré est toujours positif ou nul, 2(x – (-9/4))2 l’est toujours et f(x) toujours plus grand ou égal à -121/8.

    4) −2x2 − 16x − 32 = 0
    Trois “moins”, c’est bof donc je multiplie tout par (-1).
    2x2 + 16x + 32 = 0

    Je calcule le discriminant Δ car nous avons affaire à un polynôme du second degré.
    Δ = b2 – 4ac
    = 16*16 – 4*2*32
    = 256 – 256 = 0.

    On a donc une racine double x1
    = -b/2a
    = -16/4 = -4.

    et x2 = -b/2a
    = -4 aussi.

    S = {-4}.

    5) 4/(x − 1)3/(x − 2) = −1.

    On a une égalité avec des fractions, on passe tout à gauche et on met au même dénominateur.
    4/(x − 1)3/(x − 2) + 1 = 0
    Je choisis (x-1)(x-2) comme dénominateur.
    4(x – 2)/(x − 1)(x − 2)3(x – 1)/(x − 1)(x − 2) + (x − 1)(x − 2)/(x − 1)(x − 2) = 0

    [ 4(x – 2) − 3(x – 1) + (x − 1)(x − 2) ]/(x − 1)(x − 2) = 0

    Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul. On obtient donc :
    4(x – 2) − 3(x – 1) + (x − 1)(x − 2) = 0
    4x – 8 -[3x – 3] + x2 – 2x – x + 2 = 0
    4x – 8 – 3x + 3 + x2 -3x + 2 = 0
    x2 – 2x – 3 = 0
    On fait Delta, x1 et x2, on obtient S = {-1 ; 3}.

    6) 6x² − 13x + 6 > 0
    Pour résoudre une inéquation avec 0 à droite, il faut faire un tableau de signe.
    Là, on a un polynôme du second degré donc je fais Delta.

    &Delta = b2 – 4ac = (-13)*(-13) – 4*6*6
    = 169 – 144 = 25 > 0.
    Deux racines, c’est à dire x1 et x2 qui font que le trinôme fait 0.

    x1 = (-b – √Δ)/2a
    = (13 – √25)/12
    = (13 – 5)/12
    = (8)/12
    = (2)/3.

    x2 = (13 + 5)/12
    = (18)/12
    = (3)/2

    On se retrouve avec un tableau de signe avec :
    x | -∞ 2/3 3/2 +∞
    Des zéros en dessous des deux racines et comme le signe de a est positif (6),
    on obtient +0-0+.

    Comme on veut que le trinôme soit > 0, on ne garde que les + :
    S = ]-∞ ; 2/3[ U ]3/2 ; +∞[.

    7) Là aussi, on doit faire un tableau de signe. On gardera les 0 car l’égalité est large. Et on veut des “moins”.

    Δ = 2*2 – 4*(-3)*(-1) = 4 – 12 = -8 < 0.

    Comme Δ est strictement négatif, il n’y a pas de racine et le trinôme est toujours du signe de a (soit -3) donc négatif.
    Dans le tableau de signe on met un grand moins de -∞ à +∞.
    S = ℝ


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