Statistiques – Séries, boîtes, moyennes, écarts-type – Première S

février 6th, 2014

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Exercice N°381 :

Un professeur a l’habitude de donner chaque semaine un petit test rapide noté sur 5. Les tableaux suivants donnent les résultats de deux élèves Pierre et Wana.

Pierre :
note 1 2 3 4 5
effectif 5 4 2 3 5

Wana :
note 1 2 3 4 5
effectif 3 4 6 4 3

L’utilisation de la calculatrice est vivement conseillée. Arrondir les résultats aux dixièmes.

1) Construire pour les deux séries les diagrammes en boites.

2) Déterminer la moyenne et l’écart type pour chacune des séries.

3) Proposer une appréciation sur les résultats de Pierre et de Wana.

Bon courage,
Sylvain

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1 commentaire

  • Sylvain Jeuland dit :

    1) Tout d’abord, pour construire les diagrammes en boîte à moustache, il faut déterminer Q1, Me et Q3. Pour ce faire, la première chose à réaliser est le tableau des Effectifs Cumulés Croissants (ECC) en additionnant les effectifs de gauche à droite.

    Pierre :
    note 1 2 3 4 5
    effectif 5 4 2 3 5
    ECC 5 9 11 14 19
    Le dernier EEC (ici 19) est l’effectif total N de les notes de Pierre.

    Wana :
    note 1 2 3 4 5
    effectif 3 4 6 4 3
    ECC 3 7 13 17 20
    Le dernier EEC (ici 20) est l’effectif total N de les notes de Wana.

    Pour calculer Q1, on doit trouver la valeur qui se situe à la 0,25*N position. Si cela ne tombe pas sur un nombre entier, on prend juste au dessus. Comme ça, au moins 25% des valeurs sont en dessous de Q1.

    Pierre : 0.25*19 = 4.75, donc on prend la 5ème valeur. D’après le tableau des ECC, elle se situe sous la note 1. Du coup, Q1 = 1.

    Wana : 0.25*20 = 5, on prend aussi la 5ème valeur. D’après le tableau des ECC, elle se situe sous la note 2 (après la 3ème valeur et avant la 7ème). Du coup, Q1 = 2.

    Pour calculer Q3, on doit trouver la valeur qui se situe à la 0,75*N position. Si cela ne tombe pas sur un nombre entier, on prend juste au dessus. Comme ça, au moins 75% des valeurs sont en dessous de Q3.

    Pierre : 0.75*19 = 14.25, donc on prend la 15ème valeur. D’après le tableau des ECC, elle se situe sous la note 5 (après la 14ème valeur). Du coup, Q3 = 5.

    Wana : 0.75*20 = 15, on prend aussi la 15ème valeur. D’après le tableau des ECC, elle se situe sous la note 4 (après la 13ème valeur et avant la 17ème). Du coup, Q3 = 4.

    Pour la médiane, je vais d’abord considérer le tableau de Pierre.
    N = 19, donc la Médiane Me est la valeur centrale. N/2 = 9.5 donc la valeur centrale est la 10ème valeur.
    Cela veut dire qu'”au moins 50% des valeurs sont plus petites ou égales à Me” et qu”au moins 50% des valeurs sont plus grandes au égales à Me”.
    La 10ème valeur se situe en dessous de la note 3 (après la 9ème et avant la 11ème) selon le tableau des ECC de Pierre. Donc Me = 3.

    Pour la médiane de Wana, l’effectif total N = 20 est pair, il y a donc 2 valeurs centrales. N/2 = 10. Les deux valeurs centrales sont la 10ème et la 11ème. D’après le tableau des ECC, ces valeurs sont 3 et 3 (après la 7ème valeur et avant la 13ème). On prend Me = (3 + 3)/2 = 3.
    Comme ça “au moins 50% des valeurs sont plus petites ou égales à Me” et “au moins 50% des valeurs sont plus grandes au égales à Me”.

    Pierre : Min = 1, Q1 = 1, Me = 3, Q3 = 5, Max = 5.
    Wana : Min = 1, Q1 = 2, Me = 3, Q3 = 4, Max = 5.

    Pour dessiner les diagrammes en boîte, trace d’abord l’axe horizontal en bas avec les valeurs 1, 2, 3, 4 et 5. Puis on fait les boîtes de Q1 à Q3, et les lignes qui relient les points Min et Max à la boîte.

    Diagramme en boîte (à moustache) avec quartiles et médiane - Statistiques

    2) La moyenne se calcule
    x = (n1x1 + n2x2 + … + nPxP)/(n1 + n2 + … + nP).

    Pour Pierre : x = (5*1 + 4*2 + … + 5*5)/(5 + 4 + … + 5)
    = 56/19
    = 2.95

    La moyenne de Pierre est de 2.95.

    Pour Wana : x = (3*1 + 4*2 + … + 3*5)/(3 + 4 + … + 3)
    = 60/20
    = 3

    La moyenne de Wana est de 3.

    Pour calculer l’écart-type, il faut calculer la variance.
    Pour ce faire, on calcule les différences des valeurs par rapport à la moyenne :
    (xi – x),
    – on les met au carré :
    (xi – x)2,
    et on les multiplie par l’effectif concerné :
    ni*(xi – x)2,
    Une fois qu’on a tous ces résultats, on les additionne :
    n1*(x1 – x)2
    + n2*(x2 – x)2
    + …
    + np*(xp – x)2
    et on divise le tout par l’effectif total N :
    V = Somme/N.
    L’écart-type est la racine de la variance : σ = √V.

    Comme ici, il n’y a que 5 notes différentes, on n’a pas besoin de passer par la calculatrice, même si c’est bien de vérifier avec l’outil “stastitiques”.

    Pour Wana :
    3*(1 – 3)2
    + 4*(2 – 3)2
    + 6*(3 – 3)2
    + 4*(4 – 3)2
    + 3*(5 – 3)2
    = 3*(-2)2 + 4*(-1)2 + 6*02 + 4*12 + 3*22
    = 3*4 + 4*1 + 0 + 4*1 + 2*4
    = 12 + 4 + 0 + 4 + 8
    = 16 + 12 = 28
    V = 28/20 = 1,4.
    σ = √1,4 = 1,18.

    Pour Pierre :
    5*(1 – 2.95)2
    + 4*(2 – 2.95)2
    + 2*(3 – 2.95)2
    + 3*(4 – 2.95)2
    + 5*(5 – 2.95)2
    = 5*(-1.95)2 + 4*(-0.95)2 + 2*0.052 + 3*1.052 + 5*2.052
    = 5*3.8025 + 4*0.9025+ 2*0.0025 + 3*1.1025 + 5*4.2025
    = 19.0125 + 3.61 + 0.005 + 3.3075 + 21.0125
    = 46,9475
    V = 46,9475/19 = 2,471.
    σ = √2,471 = 1,572.

    3) Les résultats de Pierre sont plus dispersés que ceux de Wana car son écart interquartile et son écart-type sont plus grands que ceux de Wana. Sa moyenne est un peu en dessous de celle de Wana.


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