Suites – Fonction, limite, récurrence et algorithme – Terminale S

septembre 9th, 2013

Category: Algorithmique, Fonctions, Limites, Suites, Terminale S

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Exercice N°168 :

L’objet de cet exercice est d’étudier la suite (un) définie sur N par u0 = 3 et pour tout entier naturel n,
un+1 = 1/2(un + 7/un) (⋆)
On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel n,
un > 0.

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
f(x) = 1/2(x + 7/x) = 1/2(x² + 7)/x.

1) Établir le tableau de variations.

2)Démontrer par récurrence que, pour tout n entier :
√7 < un+1 < un.
Préciser alors le sens de variation de la suite (un).

3) On déduit de la relation (*) que la limite l de cette suite est
telle que l = 1/2(l + 7/l)
Déterminer l.

4) Démontrer que pour tout entier naturel n,
un+1 − √7 = 1/2(un − √7)²/un.

On définit la suite (dn) par :
d0 = 1
et pour tout entier naturel n,
dn+1 = 1/2dn2

5) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
un− √7 ≤ dn.

Voici un algorithme :

Variables : n et p sont des entiers naturels,
d est un réel.
Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de p.
Initialisations : Affecter à d la valeur 1,
Affecter à n la valeur 0.
Traitement : Tant que d > 10-p
Affecter à d la valeur 0,5 * d²,
Affecter à n la valeur n + 1.
Fin du Tant que
Sortie : Afficher n

Si, dans l’algorithme ci-contre, on entre la valeur 9, l’algorithme affiche le nombre 5.

6) Quelle inégalité peut-on en déduire pour d5 ?

7) Justifier que u5 est une valeur approchée de √7 à 10−9 près.

Bon courage,
Sylvain

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