Suites – Algorithme, limite, récurrence, géométrique – Terminale S

septembre 10th, 2013

Category: Limites, Suites, Terminale S

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Exercice N°177 :

On considère l’algorithme suivant où U est un nombre réel, k et N des entiers naturels avec N non nul.


Entrée : N

Début

Saisir N

U <- 2

Pour k de 0 jusqu’à N − 1 faire

U <- 4U − 3k + 4

FinPour

Afficher U

Fin

Sortie : U

1) Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?

On considère la suite (un) définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n,
un+1 = 4un − 3n + 4.

2) Calculer u1 et u2.

3) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
un > n.

4) En déduire la limite de la suite (un).

5) Démontrer que la suite (un) est croissante.

Soit la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n,
par vn = un − n + 1.

6) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique.

7) En déduire que, pour tout entier naturel n,
un = 3 × 4n + n − 1.

Soit p un entier naturel non nul.

8) Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier n0 tel que,
pour tout n ≥ n0, un > 10p ?

On s’intéresse maintenant au plus petit entier n0.
9) Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p = 5.

10) Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n0 tel que,
pour tout n ≥ n0, on ait un > 10p.

Bon courage,
Sylvain

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