Suites – Algorithmique et raisonnement par récurrence – Terminale S

septembre 9th, 2013

Category: Algorithmique, Suites, Terminale S

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Exercice N°165 :

On considère l’algorithme suivant (N désigne un entier naturel) :

Entrée : Saisir la valeur de N
Initialisation : Affecter à i la valeur 0
Affecter à P la valeur 63,2
Traitement : Tant que i < N Affecter à i la valeur de i + 1
Affecter à P la valeur de 1,002 * P + 0,1
Fin Tant que
Sortie : Afficher P

1) Pourquoi cet algorithme s’arrête ?

2) Faire fonctionner cet algorithme pour N = 4 et donner une valeur approchée à 10-3 du nombre affiché en sortie.

L’objectif de cette question est de donner une prévision possible de la population de la France métropolitaine en 2050.
Au 1er janvier 2010, cette population était de 63 200 000 habitants (source INSEE).
Une équipe de statisticiens prévoit un accroissement naturel de 2 pour 1 000 sur les 40 prochaines années (l’accroissement naturel étant la différence entre le taux de natalité et le taux de mortalité).
Cette équipe estime par ailleurs que le solde migratoire (qui représente la différence entre le nombre de personnes qui sont entrées en France métropolitaine et le nombre de personnes qui en sont sorties au cours de l’année) sera de 100 000 habitants soit 0,1 million.
Soit n le nombre entier naturel. On note pn la population de la France métropolitaine (estimée en millions d’habitants) au 1er janvier de l’année (2010 + n).
Ainsi, d’après ce qui précède p0 = 63,2 et
pn+1 = 1,002*pn + 0,1.

3) Déterminer les valeurs arrondies à 10-3 de p1 et p2.

4) À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout nombre entier naturel n,
pn = 113,2*1,002n – 50.

5) En déduire une estimation en millions d’habitants de la population française au premier janvier 2050 (on arrondira le résultat à 10-3).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Algorithmique – Somme de suite – Terminale S

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