Suites – Algorithmique, signe, variation, convergence – Terminale S

septembre 10th, 2013

Category: Algorithmique, Suites, Terminale S

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Exercice N°169 :

1) On considère l’algorithme suivant :

Entrée :
Saisir un réel strictement positif non nul a.
Saisir un réel strictemenl positif non nul b (b > a).
Saisir un entier naturel non nul N.

Initialisation :
Affecter à u la valeur a.
Affecter à v la valeur b.
Affecter à n la valeur 0.

Traitement :
TANTQUE n < N
Affecter à n la valeur n + 1.
Affecter à u la valeur a + b/2.
Affecter à v la valeur √( a² + b²/2 ).
Affecter à a la valeur u.
Affecter à b la valeur v.
FINTANTQUE

Sortie :
Afficher u, afficher v.

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour a = 4, b = 9 et N = 2. Les valeurs successives de u et v seront arrondies au millième.

Tableau :
n a b u v
0 4 9
1
2

Dans la suite, a et b sont deux réels tels que 0 < a < b. On considère les suites (un) et (vn) définies par :
u0 = a, v0 = b et, pour tout entier naturel n :


un+1 = ( un + vn )/2

vn+1 = √( ( un² + vn² )/2 )

2) a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un > 0 et vn > 0.

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n : vn+1² – un+1² = ( ( un – vn )/2 )².

En déduire que, pour tout entier naturel n, on a un ≤ vn.

3) a) Démontrer que la suite (un) est croissante.
b) Comparer vn+1² et vn². En déduire le sens de variation de la suite (vn).

4) Démontrer que les suites (un) et (vn) sont convergentes.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Suites – Fonction, limite, récurrence et algorithme – Terminale S

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