Suites – Arithmétique, géométrique, algorithme – Terminale ES

septembre 17th, 2013

Category: Algorithmique, Suites, Terminale ES

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Exercice N°210 :

Le client d’une banque a deux options pour placer ses économies :
Le placement U, à intérêts simples :
– Chaque année, le client verse 6 000 euros sur ce compte (12 mensualités de 500 euros).
– A la fin de chaque année, le client reçoit des intérêts égaux à 5% du montant de son
compte.
– Les intérêts sont versés sur un autre compte et donnés au client lorsqu’il ferme son placement U, en plus des sommes qu’il a versé. Ainsi, les intérêts d’une année ne contribuent pas à augmenter les intérêts de l’année suivante.

Le placement V, à intérêts composés :
– Chaque année, le client verse 6 000 euros sur ce compte (12 mensualités de 500 euros)
– A l’issue de chaque année, l’épargnant gagne des intérêts équivalents à 4% du montant
de son compte.
– Les intérêts sont versés sur le même compte. Ainsi, les intérêts d’une annéee contribuent à augmenter les intérêts de l’année suivante.

On note un le solde en euros du compte U à l’année n (à son ouverture, le compte est vide donc u0 = 0). On note in la somme contenue sur le compte servant à recevoir les intérêts du placement U à l’année n.
On note vn le solde en euros du compte V à l’année n (à son ouverture, v0 = 0).

1) Expliquer pourquoi, d’après l’énoncé, (un) est une suite arithmétique de raison 6000.
En déduire une expression de un en fonction de n.

2) A l’aide de l’énoncé, expliquer pourquoi in = 0,05(u1 + · · · + un).
En déduire que in = 150n(n + 1).

3) A l’aide de l’énoncé, expliquer pourquoi on a : vn+1 = 1,04vn + 6240.

4) On définit pour tout n ∈ ℕ la suite wn = vn + 156000. Démontrer que (wn) est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme w0 = 156000.

5) En déduire une expression de wn puis de vn en fonction de n.

6) Expliquer pourquoi au bout de n années, les intérêts de ce placement sont donnés par
jn = 156000 x 1,04n − 156000 − 6000n.

7) Comparaison des deux placements. On utilise in et jn des questions précédentes.
Comparer i10 et j10. L’´epargnant veut r´ealiser un placement sur dix ans. Lequel des deux modèles doit-il choisir ?

8) Pour un placement sur 20 ans, lequel des deux modèles faut-il choisir ?

9) L’algorithme suivant affiche 18. Comment interpréter ce résultat ?
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Bon courage,
Sylvain

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3 commentaires

  • stacy dit :

    Bonjour, je bloque sur la question 2 et la question 6, je comprends les réponses mais je n’arrive pas à expliquer. Merci

    • Sylvain dit :

      Bonjour,

      je reviens d’Asie du Sud-Est, mes excuses pour le retard,
      cette question est plutôt compliquée,

      Question 2)

      Chaque année n, le client ajoute Un à son compte en banque.
      A la fin de la première année, il y a donc U1 = 6000€ dans son compte. Comme les intérêts sont de 5%, cela fait i1 = 5/100*U1 soit 0,05*U1.

      L’année 2, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc U2 = U1 + 6000 dans le compte. Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
      A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur U2 qu’on ajoute à ceux d’avant, soit i2 = i1 + 0,05*U2 = 0,05*U1 + 0,05*U2 = 0,05*(U1 + U2).

      L’année 3, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc U3 = U2 + 6000. Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
      A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur U3, soit i3 = 0,05*U3 + i2 = 0,05*U3 + 0,05*(U1 + U2) = 0,05*(U1 + U2 + U3).

      Et ainsi de suite…..

      L’année n, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc Un. Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
      A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur Un, soit in = 0,05*Un + i(n-1) = 0,05*Un + 0,05*(U1 + U2 + U3 + …..U(n-1)) = 0,05*(U1 + U2 + U3 + …..U(n-1) + Un).

      Donc in = 0,05*(6000 + 6000*2 + 6000*3 + … + 6000*n).
      Je factorise par 6000, in = 0,05*(6000(1 + 2 + 3 + … + n)) = 30*(1 + 2 + 3 + … + n). Or d’après le cours, 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 donc in = 30*n(n+1)/2 = 15n(n+1).

      Est-ce que c’est bien assez détaillé ?

      • Sylvain dit :

        Question 6)

        Dans les question précédentes 3), 4) et 5), on a calculé que le montant Vn contenu dans le compte en banque à la fin de l’année n est
        Vn = 156000 x 1,04n − 156000.
        Pour calculer les intérêts seulement, il suffit de reprendre ce montant et d’enlever le montant qu’a apporté le client, soit les 6000 euros par an.
        Cela fait Vn – 6000*n = 156000 x 1,04n − 156000 – 6000n.

        Est-ce-que ça va ?


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