Suites – Arithmétique, premiers termes, raison, somme – Première S

mars 28th, 2013

Category: Equations et Inéquations, Première S, Suites

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Exercice N°111 :

Soit V la suite définie par V0 = 2 et pour tout entier naturel n, Vn+1 = 3/(Vn + 1).

1) Calculer V1, V2 et V3.

2) Cette suite est-elle arithmétique ? Justifier.

Soit (Un) une suite arithmétique de raison r telle que U50 = 406 et U100 = 806.

3) Calculer sa raison et U0

4) Calculer la somme S = U50 + U51 + . . . + U100

5) Calculer en expliquant la somme des 2010 premiers entiers naturels.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Suites – Sens de variations, croissance, polynômes – Première S

1 commentaire

  • Sylvain dit :

    1) a) v(1) = v(0+1) = 3/(v(0) + 1) = 3/(2 + 1) = 3/3 = 1.

    v(2) = v(1+1) = 3/(v(1) + 1) = 3/(1 + 1) = 3/2.

    v(3) = v(2+1) = 3/(v(2) + 1) = 3/(3/2 + 1) = 3/(3/2 + 2/2) = 3/(5/2) = 3*2/5 = 6/5.

    b) Avant d’essayer de prouver qu’une suite arithmétique (on ne sait pas vraiment si elle l’est ou non), l’idéal est de calculer les première différences puis de les comparer :

    v(1) – v(0) = 1 – 2 = -1
    v(2) – v(1) = 3/2 – 1 = 1/2

    Dès maintenant, on voit que v(2) – v(1) est différent de v(1) – v(0) donc la suite (Vn) n’est pas arithmétique car on ajoute pas le même à chaque fois pour passer d’un terme à un autre.

    2) Ici nous avons une suite arithmétique avec u(50) = 406 et u(100) = 806. Mais nous n’avons pas u(0)
    Pour déterminer sa raison, on utilise la formule avec u(p) :
    Pour tout n, u(n) = u(p) + r*(n-p).
    Prenons n le plus grand avec 100 et p le plus petit avec 50.
    On obtient u(100) = u(50) + r*(100-50)
    < => 806 = 406 +50r
    < => 806 – 406 = 50r
    < => 400 = 50r
    < => 8 = r.
    La raison est 8.

    Calculons u(0) maintenant avec u(n) = u(0) + (n-0)*8, cela donne :
    u(100) = u(0) + (100-0)*8
    < => 806 = u(0) + 800
    < => u(0) = 806 – 800 = 6

    On a donc pour tout n, u(n) = 6 + 8n.

    b) S = u(50) + … + u(100)
    = 6 + 8*50 + … + … + 6 + 8*100
    = 6 + 6 + … + 6 + 8*[50 + 51 + 52 + … + 100]
    (Il y a 51 nombres 6 car de 50 à 100, il y a 51 termes)
    = 51*6 + 8*[(50 + 0) + (50 + 1) + (50 + 2) + … + (50 + 50)]
    = 306 + 8*[50 + 50 + … + 50 + 0 + 1 + 2 + 3 + … + 49 + 50]
    (Il y a 51 nombres 50 car de 50 à 100, il y a 51 termes)
    = 306 + 8*[50*51 + 1 + 2 + 3 + … + 49 + 50 ]
    (D’après le cours, 1 + 2 + 3 + … + n = n*(n+1)/2 donc jusqu’à cela donne 50*51/2 = 25*51)
    = 306 + 8*[50*51 + 25*51}
    = 306 + 8*[75*51]
    = 306 + 600*51
    = 306 + 30600
    = 30906

    Sinon il y a la formule plus simple que je n’apprends jamais :
    (nombre de terme)*(1er terme arithmétique + dernier terme)/2
    = 51*(u(50) + u(100))/2
    = 51*(406 + 806)/2
    = 51*(1212)/2
    = 51*606
    = 30906.
    Parfois, c’est bien de ne pas être trop minimaliste dans l’apprentissage de ses formules.

    3) 1 + 2 + … + 2009 + 2010 = n*(n+1)/2 (avec n = 2010)
    = 2010*2011/2
    = 1005*2011
    = (1000 + 5)*2011
    = 1000*2011 + 5*2011
    = 2011000 + 10055
    = 2021055
    J’avais la flemme de sortir la calculette.


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