Suites – Auxiliaire géométrique, explicite, limite – Terminale ES

septembre 17th, 2013

Category: Limites, Suites, Terminale ES

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Exercice N°208 :

Une entreprise doit réduire la quantité de déchets qu’elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s’engage, à terme, à rejeter moins de
30 000 tonnes de déchets par an.
En 2007, l’entreprise rejetait 40 000 tonnes de déchets.
Depuis cette date, l’entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu’elle rejette de 5 % par rapport à la quantité rejetée l’année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités.
Pour tout entier naturel n, on note rn la quantité, en tonnes, de déchets pour l’année (2007 + n). On a donc r0 = 40000.

1) Calculer r1 et r2.

2) Justifier que pour tout entier n naturel on a rn+1 = 0,95rn +200.

3) Soit (sn) la suite définie pour tout entier naturel n par sn = rn − 4000.
Démontrer que la suite (sn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

4) Pour tout entier naturel n, exprimer sn en fonction de n.
En déduire que, pour tout entier naturel n, on a rn = 36000 × 0,95n + 4000.

5) La quantité de déchets rejetée diminue-t-elle d’une année sur l’autre ? Justifier.

6) Déterminer la limite de la suite (rn) quand n tend vers l’infini.

7) Calculer une estimation, en tonnes et à une tonne près, de la quantité de rejets en 2011.

8) À partir de quelle année, le contexte restant le même, l’entreprise réussira-telle à respecter son engagement ?

Bon courage,
Sylvain

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