Suites – Enoncé, géométrique, variation, explicite – Première ES

novembre 28th, 2014

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Exercice N°414 :

Le 1er janvier 2012, une grande entreprise compte 1500 employés. Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10 % de l’effectif de l’entreprise partira à la retraite au cours de l’année.
Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l’entreprise embauche 100 jeunes dans l’année.
Pour tout entier naturel n, on appelle un le nombre d’employés de l’entreprise le 1er janvier de l’année (2012 + n) ;
u0 = 1500.

1) Calculer u1 et u2.

2) La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier par un calcul.

3) Expliquer pourquoi on a : un+1 = 0, 9un + 100 pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on pose : vn = un − 1000.
4) Calculer v0, v1 et v2.

5) Montrer que (vn) est une suite géométrique.

6) Exprimer alors vn en fonction de n.

7) En déduire que un = 500 × (0,9)n + 1000 pour tout n ∈ ℕ.

On admet que (un) est une suite décroissante. Au 1er janvier 2012, l’entreprise compte un sureffectif de 300 employés.
8) A partir de quelle année, le contexte restant le même, l’entreprise ne sera-t-elle plus en sureffectif ?

Bon courage,
Sylvain

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