Suites – Fonction, variation, convergence, arithmétique – Première ES

novembre 28th, 2014

Category: Fonctions, Première ES, Suites

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Exercice N°410 :

Soit f la fonction définie sur [0 ; 2] par

f(x)= (x − 4)/(x − 3).

1) Étudier les variations de f. En déduire que pour tout x ∈ [0 ; 2],
f(x) ∈ [0 ; 2].

Soit (un) la suite définie par :
{ u0 = 0,
un+1 = f(un)
.

2) Sur le graphique page suivante, on a représenté la courbe de f et la droite d’équation y = x. Placer u0 en abscisse, puis construire u1, u2 et u3 en laissant apparents les traits de construction.

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3) Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (un) ?

4) Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ,
un ∈ [0 ; 2].
(question difficile car la récurrence est plutôt étudiée en S)

5) Démontrer que (un) est croissante.

6) Démontrer que (un) est convergente.

On pose pour tout n ℕ ∈ :
vn = 1/(un − 2).

7) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison −1.
(question difficile avec la fraction)

8) Exprimer vn en fonction de n, puis un en fonction de n.
(question difficile avec la fraction)

9) En déduire lim n→+∞ un (limite de un quand n tend vers +infini).

Bon courage,
Sylvain

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Suites – Récurrence, arithmétique, géométrique, raison – Première ES

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