Suites – Graphique, géométrique, variation, limite – Terminale ES

septembre 17th, 2013

Category: Limites, Suites, Terminale ES

Tagged with: , , , , , , , , , ,

Exercice N°206 :

Soit (un) la suite définie par
{ u0 = 8,
et pour tout n ∈ N,
un+1 = 0,85un + 1.8.

1) Dans le repère ci-dessous, tracer les droites d’équations respectives :
y = 0,85x + 1.8
et
y = x.

terme suite droite repère

2) Dans ce repère, placer u0 sur l’axe des abscisses puis, en utilisant les droites précédemment tracées, construire sur le même axe u1, u2 et u3. On laissera apparents les traits pointillés de construction.

3) À l’aide du graphique, conjecturer la limite de la suite (un).

Soit (vn) la suite définie par : ∀n ∈ N,
vn = un – 12.
4) Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

5) Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.
En déduire que, pour tout entier naturel,
un = 12 – 4×0,85n.

6) Donner le sens de variation de la suite (vn). En déduire celui de la suite un.

7) Déterminer la limite de la suite (un).

Un magazine est vendu uniquement par abonnement. On a constaté que :
– il y a 1800 nouveaux abonnés chaque année ;
– d’une année sur l’autre, 15 % des abonnés ne se réabonnent pas.
En 2008, il y avait 8000 abonnés.
8) Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite (un) où un désigne le nombre de milliers d’abonnés l’année (2008 + n).

9) En utilisant l’une des questions précédentes, calculer une estimation du nombre d’abonnés en 2014.

Bon courage,
Sylvain

bouton_rouge

Exercice précédent : Fonctions – Bases, lecture graphique, images, antécédents – Seconde

1 commentaire

  • Sylvain Jeuland dit :

    1) et 2)
    Droite y=x et droite de la suite récurrente avec premiers termes

    3) Comme l’intersection des deux droites se fait pour x = 12, et que les segments des Un semblent aller vers cette intersection, je conjecture que la limite de la suite est 12.

    4) On a pour tout n entier naturel, V(n) = U(n) – 12.
    On sait aussi que U(n+1) = 0,85*U(n) + 1.8.

    Pour prouver qu’une suite (V(n)) est géométrique, il faut arriver à :
    Pour tout n entier naturel, V(n+1) = q*V(n), donc on écrit sur la feuille :

    Pour tout n entier naturel, V(n+1) = U(n+1) – 12 (on fait appel à l’égalité entre V(n) et U(n))
    = 0,85*U(n) + 1.8 – 12 (on fait appel à l’égalité entre U(n+1) et U(n))
    = 0,85*U(n) – 10,2
    = 0,85*( U(n) – 10,2/0,85 ) (on factorise par le coefficient devant U(n))
    = 0,85*( U(n) – 10,2/0,85 )
    = 0,85*( U(n) – 12 )
    = 0,85*V(n) (on refait appel à l’égalité entre U(n+1) et U(n) dans l’autre sens)

    Il existe un réel q réel (q = 0,85), tel que pour tout n entier naturel,
    V(n+1) = q*V(n), donc (V(n)) est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme V(0) = U(0) – 12 = 8 – 12 = -4.

    5) Comme (V(n)) est géométrique, on utilise la formule explicite (qui dépend de n),
    V(n) = V(p)*q^n-p avec p = 0 comme on commence à 0.

    Du coup, pour tout n, V(n) = V(0)*qn = -4*0,85n.

    Comme V(n) = U(n) – 12, alors U(n) = V(n) + 12
    = -4*0,85n + 12 = 12 – 4*0,85n.

    6) Pour obtenir le sens de variation d’une suite, il faut déterminer le signe de
    U(n+1) – U(n). S’il est positive, la suite est croissante. S’il est négatif, la suite est décroissante.

    Pour tout n réel, U(n+1) – U(n)
    = 12 – 4*0,85n+1 – [12 – 4*0,85n] (on n’oublie pas les crochets après le “moins”)
    = 12 – 4*0,85n+1 – 12 + 4*0,85n (les 12 s’annulent)
    = – 4*0,85n+1 + 4*0,85n
    = 4*0,85n – 4*0,85n+1
    = 4*[ 0,85n – 0,85n+1 ] (on factorise par 4)
    = 4*[ 0,85n – 0,85n * 0,85 ] (les puissances : an+1 = an * a1 = an * a)
    = 4*[ 0,85n * 1 – 0,85n * 0,85 ]
    = 4*[ 0,85n * (1 – 0,85) ] (on factorise par 0,85n)
    = 4*[ 0,85n * 0,15 ].

    4 est positif, 0,85n est positif, 0,15 est positif. D’après la règle des signes avec ce produit,
    Pour tout n réel, U(n+1) – U(n) > 0.
    Donc la suite (U(n)) est strictement croissante.

    7) U(n) = 12 – 4*0,85n
    lim[n tend vers +∞] 0,85n = 0 car 0 < 0,85 < 1,

    Par produit, lim[n tend vers +∞] 4*0,85n = 0 car 4*0,

    Par somme, lim[n tend vers +∞] (12 – 4*0,85n) = 0 car 12-0,

    Donc la limite de la suite est 12.

    8) On prend le nombre actuel d’abonnés Un, on lui applique une baisse de 15% (coefficient multiplicateur de 0,85) donc on obtient 0,85*Un.
    Puis on ajoute 1800, soit 1,8 millier, cela donne 0,85*Un + 1,8.
    On obtient le nombre suivant d’abonnés qui est Un+1.
    Du coup, on a pour tout n entier naturel Un+1 = 0,85*Un + 1,8.
    Sans oublier que U0 = 8, ce qui correspond au 8000 de 2008.
    Cette situation peut donc être modélisée par la suite (Un).

    9) 2014, c’est 2008+6 soit 2008+n pour n=6, il faut donc calculer
    U6 = 12 – 4*0,856 = 10,4914, soit un nombre d’abonnés de 10491 en 2014.


  • Laisser un commentaire

    Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *