Suites – Graphique, Récurrence, Algorithme, Arithmétique- Terminale S

septembre 10th, 2013

Category: Algorithmique, Suites, Terminale S

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Exercice N°173 :

On considère la suite (un) définie pour tout n ∈ N par
0 = -2 et, pour tout entier n,
un+1 = un/(1 – un).

On admettre pour commencer que pour tout entier naturel n,
un ≠ 1.

1) Calculer u1 et u2.

On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé du plan.

exo173_a

f est définie pour tout x de ]-∞ ; 1[ par
f(x) = x/(1 – x).
On donne aussi la droite Δ d’équation y = x.

2) Construire sur l’axe des abscisses les points A1, A2, A3 d’abscisses respectives u1, u2, u3.

3) Montrer par récurrence que pour tout entier n, on a
un < 0.

4) En déduire que la suite (un) est croissante.

5) Quelle semble être la limite de la suite (un) ?

6) Écrire un algorithme permettant de trouver le plus petit entier N tel que
pour tout n ≥ N, |un| < 10-2.

7) Déterminer cette valeur à l’aide de la calculatrice.

On considère la suite numérique (vn) définie pour tout n ∈ N par
vn = (un – 4)/un.
On admettra que pour tout entier naturel n,
vn ≠ 1.

6) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 4.

7) En déduire l’expression de vn en fonction de n.

8) Exprimer un en fonction de vn, puis en déduire que
un = –2/(2n – 1).

9) Vérifier le résultat trouvé en 7) à l’aide du résultat précédent.

Soit α un réel positif.
10) Déterminer le plus petit entier naturel N tel que
pour n ≥ N, |un| < α. 11) En déduire la limite de la suite (un).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Suites – Somme, conjecture, raisonnement par récurrence – Terminale S

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