Suites – Intérêts composés et suite géométrique – Première S

septembre 13th, 2012

Category: Première S, Suites

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Exercice N°007 :

Le premier janvier 2012, on a placé 5000 euros à intérêts composés au taux annuel de 4% (cela signifie que les intérêts ajoutés au capital à chaque nouvelle année représentent 4% du capital de l’année précédente).

Chaque 1er janvier, on place 200 euros supplémentaire dans ce compte.

On note C0 = 5000 le capital disponible au 1er janvier de l’année 2012, et Cn le capital disponible au 1er janvier de l’année (2012 + n).

1) Calculer les valeurs exactes de C1 et C2.

2) Justifier que pour tout entier n, on a Cn+1 = 1,04Cn + 200.

3) Justifier que la suite (Cn) n’est ni arithmétique, ni géométrique.

Pour tout entier n, on pose vn = Cn + 5000.

4) Calculer v0 ; montrer que (vn) est une suite géométrique.

5) En déduire une l’expression de vn puis de Cn en fonction de n.

6) Calculer le capital disponible à la fin de l’année 2020, arrondi à l’euro près.

7) Quel nombre minimal d’années devra-t-on attendre pour que le capital disponible  dépasse 10 000 euros ?

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Suites – Sens de variation et somme géométrique – Première S

Recherches utilisées pour trouver cet articlejustifier tout entier n suite composé

4 commentaires

  • tristan dit :

    1) C1=5000+5000*1/4
    =6250

    C2=6250+6250*1/4
    =7812.5

    2)Cn+1=1.04Cn+200

    C0+1=1.04*5000+200
    =5400

    C1+1=1.04*6250+200
    =6700
    Je ne trouve pas les mêmes réponses qu’à la question précédente

    3)La suite n’est pas arithmétique car on ajoute pas la même raison à chaque n+1

    La suite n’est pas géométrique car on ne multiplie pas par un même nombre q

    4)a)La suite est géométrique car on multiplie par 5000 ( 5000*5000*=5000²)

    V0=C0+5 000
    =10 000

    V1=C1+5000
    =10 000+5 000=15 000

    b)Vn=Cn+5000
    et
    Cn=Vn-5000

    5)V9=5000+5000*8
    =45 000
    10 000=Cn+5000
    5000=Cn

    Bonne soirée

    • Sylvain dit :

      Bonjour Tristan,

      voici les astuces.

      1) Tout d’abord, nous avons des intérêts composés à 4%. Une augmentation de 4%, cela donne un coefficient multiplicateur de (1 + 4/100). Il faut donc multiplier la valeur initiale par 1.04.

      De plus, l’énoncé dit qu’on ajoute 200 à chaque étape.

      Pour calculer C1 à partir de C0, on fait donc C1 = 1.04*C0 + 200. De même, C2 = 1.04*C1 + 200.

      2) Pour justifier que C(n+1) = 1,04C(n) + 200, il faut utiliser le vocabulaire suivant : “terme présent” pour C(n) et “terme suivant” pour C(n+1). Une augmentation de p pourcent revient à multiplier par le coefficient multiplicateur (1 + p/100). Placer 200 revient à ajouter 200.

      Donc : Pour obtenir le terme suivant C(n+1), on multiplie le terme présent C(n) par 1.04 (augmentation de 4%) et d’ajouter 200. On a bien C(n+1) = 1,04C(n) + 200.

      Sur internet, si tu ne peux pas mettre les rangs n et n+1 en indice, mets les entre parenthèses.

      3) Pour savoir si la suite est arithmétique ou géométrique, calcule C(0), C(1), C(2) et C(3).

      Pour prouver qu’une N’EST PAS arithmétique, on calcule C(1)-C(0) =, C(2)-C(1) =, C(3)-C(2) =, etc. Dès que c’est différent, on peut affirmer qu’il n’y a pas de raison additive constante, donc que la suite n’est pas arithmétique.

      Pour prouver qu’une N’EST PAS géométrique, on calcule C(1)/C(0) =, C(2)/C(1) =, C(3)/C(2) =, etc.
      ATTENTION, il faut s’assurer que les termes sont différents de 0. S’il l’un deux est égal à 0 et pas les autres, on peut dire que ce n’est pas géométrique.)
      Dès que c’est différent, on peut affirmer qu’il n’y a pas de raison multiplicative constante, donc que la suite n’est pas géométrique.

      • Sylvain dit :

        4) Pour tout entier n, on pose V(n) = C(n) + 5000.
        V(0) = C(0) + 5000

        Montrer que (V(n)) est une suite géométrique : c’est la question technique de l’exercice. Il faut mettre en évidence et utiliser les égalités de l’exercice :
        C(n+1) = 1,04*C(n) + 200
        V(n) = C(n) + 5000.

        Il faut partir de V(n+1) et arriver à q*V(n).
        V(n+1) = C(n+1) + 5000 (en utilisant la seconde égalité)
        V(n+1) = 1,04*C(n) + 200 + 5000 (en utilisant la première égalité)
        V(n+1) = 1,04*C(n) + 5200
        Ici, l’astuce est factoriser par le coefficient multiplicatif devant.
        V(n+1) = 1,04*( C(n) + 5200/1,04 )
        = 1,04*( C(n) + 5000 )
        = 1,04*V(n) (en reprenant la seconde égalité)

        On arrive à :
        Il existe un unique q réel (q = 1,04), tel que pour tout n entier naturel, V(n+1) = q*V(n). Donc la suite (V(n)) est géométrique de raison 1,04 et de premier terme V(0) = 10000.

        b) Pour avoir V(n) en fonction de n, on utilise la formule habituelle V(n) = V(p)*q^(n-p) avec ici p = 0.
        Pour tout n, V(n) = 10000*1,04^n.

        En utilisant la seconde égalité V(n) = C(n) + 5000, puis en isolant C(n), on obtient C(n) = V(n) – 5000.
        Du coup, C(n) = 10000*1,04^n – 5000.

        • Sylvain dit :

          5) Pour Calculer le capital disponible à la fin de l’année 2020, arrondi à l’euro près, il faut calculer C(8) car c’est 8 ans après 2012 (n = 0). Il suffit de remplacer le n par 8.

          6) Quel nombre minimal d’années devra-t-on attendre pour que le capital disponible dépasse 10 000 euros ?

          Cela revient à poser l’inéquation C(n) >= 10000. En essayant les valeurs à la calculatrice, on peut trouver le premier n qui fait que C(n) dépasse 10000. Il faut bien préciser que le C(n-1) précédent ne dépasse pas 10000.

          C(n-1) inférieur à 10000.
          C(n) supérieur ou égal à 10000.


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