Suites – Nature, capital, comparaison, placement – Première ES

novembre 28th, 2014

Category: Première ES, Suites

Exercice N°413 :

On souhaite comparer deux placements :
– placement A : dépôt initial de 500 euros et un versement mensuel de 10 euros ;
– placement B : dépôt initial de 400 euros et un versement mensuel de 5 % du capital placé.

On note an le capital en euros, obtenu par le placement A, et on note bn le capital en euros, obtenu par le placement B, après n mois de versement.

Ainsi a0 = 500 et b0 = 400.

1) Calculer a1 et a2.

2) Exprimer an+1 en fonction de an ; quelle est la nature de la suite (an) ?

3) En déduire l’expression de an en fonction de n.

4) Calculer a7 et interpréter le résultat.

5) Calculer b1 et b2.

6) Exprimer bn+1 en fonction de bn ; quelle est la nature de la suite (bn) ?

7) En déduire l’expression de bn en fonction de n.

8) Calculer b7 et interpréter le résultat (arrondir au centime d’euro).

9) Déterminer au bout de combien de mois le capital bn devient supérieur au capital an.

Bon courage,
Sylvain

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Recherches utilisées pour trouver cet articleon souhaite comparer deux placements : placement A : depôt initial de 500€ et un versement mensuel de 10€

2 commentaires

  • Digret dit :

    Je bloque sur la question 7 svp j’ai besoin d’aide

    • Sylvain Jeuland dit :

      1) Au bout d’un mois, on ajoute 10 euros au dépôt initial.
      Soit a1= a0 + 10 = 500 + 10 = 510.

      Puis on ajoute encore 10 euros pour obtenir
      a2 = a1 + 10 = 510 + 10 = 520.

      2) Pour obtenir le capital le mois suivant (étape n+1), on ajoute 10 au capital du mois actuel (étape n). Cela donne an+1 = 10 + an.
      Comme on ajoute le même nombre (10) à chaque étape, on obtient donc une suite arithmétique de raison r = 10 et de premier terme a0 = 500.

      3) La formule explicite (en fonction de n) du terme de rang n d’une suite arithmétique qui commence au rang n = 0 est :
      Pour tout n : an = a0 + r*n.
      Ici an = 500 + 10n.

      4) a7 = 500 + 10*7 = 570. Au bout de 7 mois, il y aura 570 euros sur le placement A.

      5) Tout d’abord, il faut savoir qu’augmenter de 5%, c’est multiplier par le coefficient multiplicateur (1 + 5/100) = 1,05.

      Si tu prends le montant b0 = 400, tu dois le multiplier par 1,05 pour obtenir le montant le mois suivant b1.
      Soit b1 = 1,05*b0 = 1,05*400 = 420.
      De même, b2 = 1,05*b1 = 1,05*420 = 441.

      6) Pour obtenir le montant suivant (celui de l’étape n+1), on multiplie le placement bn par 1,05 qui représente l’augmentation.
      Soit pour tout n, bn+1 = 1,05*bn.

      Comme on multiplie toujours par la même nombre (1,05) pour passer d’un terme à l’autre, (bn) est une suite géométrique de raison q = 1,05 et de premier terme 400.

      7) La formule explicite (en fonction de n) du terme de rang n d’une suite géométrique qui commence au rang n = 0 est :
      Pour tout n : bn = b0 * qn.
      Ici bn = 400 + 1,05n.

      8) b7 = 400 * 1,057 = 562,84.
      Au bout de 7 mois, il y aura 562,84 euros sur le placement B.

      9) Pour cela, on regarde les différents termes des suite A et B. Déjà on voit que le placement B est toujours en dessus du placement A pour n = 7.

      a7 = 570.
      b7 = 562,84.

      a8 = 580.
      b8 = 590,98.

      Le capital bn devient supérieur au capital an au bout de 8 mois. Sur ton contrôle, note bien les valeurs avant que cela arrive, et après que cela arrive pour montrer que c’est bien le premier “n”.

      J’espère que tu as bien compris. Demande si quelque chose ne va pas,
      Sylvain


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