Suites – Passer par une géométrique pour réussir – Première S

mars 28th, 2013

Category: Première S, Suites

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Exercice N°115 :

La suite u est définie par u0 = 7 et pour tout entier naturel n, un+1 = (2un + 6)/5.

1) a) Calculer u1 et u2.

b) La suite u est-elle arithmétique ? géométrique ?

2) On considère la suite v telle que pour tout entier naturel n,
vn = un − 2.

a) Montrer que la suite v est une suite géométrique.
Préciser la raison et le premier terme.

b) Exprimer vn en fonction de n.

c) En déduire l’expression de un en fonction de n.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Suites – Raisons et sommes arithmétique et géométrique – Première S

2 commentaires

  • Sylvain dit :

    1) a) Calcul de u(1) :
    u(0+1)= (2*7+6)/5
    u(1)= 4

    Calcul de U2:
    u(1+1) = (2*4+6)/5
    u(2) = 14/5

    b) Pour deviner si une suite est géométrique ou arithmétique ou non, on regarde les premiers termes.
    Arithmétique ?
    u(1) – u(0) = 4 – 7 = -3.
    u(2) – u(1) = 14/5 – 4 = 14/5 – 20/5 = -6/5

    On a u(2) – u(1) différent de u(1) – u(0) donc la suite n’est pas arithmétique car on n’ajoute pas le même nombre pour passer d’un terme au suivant.

    Les termes sont différents de 0 donc on peut faire (pour la géométrie) :
    u(1)/u(0) = 4/7.
    u(2)/u(1) = 14/5 / 4 = 14/5 / (4/1) = (14/5)*(1/4) = 14/20 = 7/10.

    On a u(1)/u(0) différent de u(2)/u(1) donc la suite n’est pas géométrique car on ne multiplie pas par le même nombre pour passer d’un terme au suivant.

  • Sylvain dit :

    2) Pour savoir si une suite est arithmétique, on calcule déjà les premiers termes, U0, U1 et U2 et on regarde si leur différence sont constantes donc si ça fait bien une unique raison R.
    On a ici U1 – U0 = 4 – 7 = -3
    et U2 – U1 = 2,8 – 4 = -1,2.
    La différence n’est pas la même, donc on n’ajoute pas la même chose à chaque fois, donc la suite n’est pas arithmétique.

    Pour le “géométrique”, comme les premiers termes sont différents de 0, ont fait U1/U0 puis U2/U1. On s’aperçoit aussi que les quotients sont différents donc il n’y a pas de raison q qui fonctionne. La suite (Un) n’est pas géométrique non plus.

    2) a) Pour prouver qu’une suite est géométrique, il faut partir de V(n+1) = … puis arriver à … = q*Vn.

    Comme on sait que U(n+1) = (2Un + 6)/5 et que Vn = Un – 2, on peut démarrer par :

    V(n+1) = U(n+1) – 2
    = (2Un + 6)/5 – 2
    = 2/5*Un + 6/5 – 10/5
    = 2/5*Un – 4/5
    = 2/5*Un – 2/5*2
    = 2/5*(Un – 2)
    = 2/5*Vn

    Il existe q réel (q = 2/5) tel que : pour tout n, V(n+1) = q*Vn, donc (Vn) est une suite géométrique de raison 2/5 et de premier terme VO = U0 – 2 = 7 – 2 = 5.

    2) b) Comme (Vn) est géométrique, pour tout n, Vn = V0*q^n = 5*(2/5)^n.

    2) c) Comme Vn = Un – 2, alors Un = Vn + 2, donc Un = 5*(2/5)^n + 2 et ceci pour tout n entier naturel.


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