Suites – Récurrent, géométrique, explicite, limite – Terminale ES

septembre 18th, 2013

Category: Limites, Suites, Terminale ES

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Exercice N°211 :

Le nombre d’arbres d’une forêt, en milliers d’unités, est modélisé par la suite (un) où un désigne le nombre d’arbres, en milliers, au cours de l’année (2010+n). En 2010, la forêt possède 50000 arbres. Afin d’entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3000 arbres.

1) Montrer que la situation peut être modélisée par :
u0 = 50 et pour tout entier naturel n par la relation :
un+1 = 0,95un + 3.

2) Calculer u1. Combien d’arbres comptera la forêt en 2011 ?

3) On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par
vn = 60 − un·
Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,95.

4) Calculer v0. Déterminer l’expression de vn en fonction de n.

5) Démontrer que pour tout entier naturel n,
un = 60 − 10 × (0,95)n.

6) Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l’unité.

7) Vérifier que pour tout entier naturel n, on a l’égalité
un+1 − un = 0,5 × (0,95)n.

8) En déduire la monotonie de la suite.

9) Déterminer la limite de la suite (un). Interpréter.

Bon courage,
Sylvain

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