Suites – Somme, géométrique, récurrence, limite – Terminale S

septembre 10th, 2013

Category: Limites, Suites, Terminale S

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Exercice N°174 :

Soit la suite (un) définie par u0 ∈ R et la relation
un+1 = 1/10un + 1/2.

1) Dans cette question uniquement, on suppose que u0 = 5/9.
Démontrer par récurrence que la suite (un) est une suite constante.

Dans toute la suite de l’exercice, on suppose que u0 = 0.

2) Calculer u1, u2 et u3.

Soit la suite (vn) définie par la relation
vn = un5/9.
3) Démontrer que cette suite est une suite géométrique dont on précisera la raison.

4) Exprimer vn en fonction de n. En déduire l’expression de un en fonction de n.

5) Calculer lim(n→+∞) un

La suite (Sn) est définie sur N par
Sn = (5/9) x 1,11…1
avec n chiffres égaux à 1.

6) En remarquant que
Sn = (5/9)[1 + 1/10 + … + (1/10)n-1],
montrer que
Sn = (50/81)[1 – (1/10)n].

7) En déduire que la limite de la suite (Sn) est un nombre rationnel (c’est-à-dire le quotient de deux entiers).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Suites – Graphique, Récurrence, Algorithme, Arithmétique- Terminale S

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