Suites – Somme, limite, inéquation, algorithme – Terminale ES

septembre 18th, 2013

Category: Algorithmique, Limites, Suites, Terminale ES

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Exercice N°213 :

Une association caritative a constaté que, chaque année, 20% des donateurs de l’année précédente ne renouvelaient pas leur don mais que, chaque année, 300 nouveaux donateurs effectuaient un don. On étudie l’évolution du nombre de donateurs au fil des années. Lors de la première année de l’étude, l’association comptait 1000 donateurs. On note un le nombre de donateurs lors de la n-ième année ; on a donc u1 = 1000.

1) Calculer u2 et u3.

2) Montrer que pour tout entier naturel n, on a
un+1 = 0,8un + 300.

3) Pour tout entier naturel n, on pose
vn = 1500 − un.
Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme v1 = 500.

4) Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.

5) Calculer la somme
S4 = v1 + v2 + v3 + v4

6) Calculer la limite de la suite (vn)

7) Montrer que pour tout entier naturel n, on a
un = 1500 − 500 × 0,8n−1.

8) Déterminer le nombre total de donateurs au cours des 4 premières années.

9) Déterminer l’évolution du nombre de donateurs de l’association dans les années à venir.

10) Montrer que que pour tout entier naturel n ≥ 1, l’inéquation :
un > 1450
est équivalente à
0,8n−1 < 0,1.

11) Compléter alors l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche le nombre d’années à partir duquel le nombre de donateurs dépassera les 1450.



Initialisation

U prend la valeur 1

N prend la valeur 1

Traitement

Tant que U > ………

Donner à N la valeur …………………..

Donner à U la valeur …………………..

Fin Tant Que

Sortie

Afficher ……

Bon courage,
Sylvain

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