Suites – Sommes géométriques avec raison – Première S

septembre 15th, 2012

Category: Première S, Suites

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Exercice N°008 :

Soient (un) et (vn) définis pour tout entier naturel n, par :
un = 1/4(2n + 4n – 5)   et   vn = 1/4(2n – 4n + 5)

1) Calculer u0, u1, v0 et v1.

2) Montrer que la suite (an) de terme général an = un + vn est géométrique de raison 2 ; Calculer la somme Sa(n) = a0 + a1 + … + an.

3) Montrer que la suite (bn) de terme général bn = unvn est arithmétique de raison 2 ; Calculer la somme Sb(n) = b0 + b1 + … + bn.

4) En déduire les sommes Su(n) = u0 + u1 + … + un et Sv(n) = v0 + v1 + … + vn.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Suites – Intérêts composés et suite géométrique – Première S

1 commentaire

  • Sylvain dit :

    1)

    u(0) = (1/4)*(2^0 + 4*0 – 5)
    = (1/4)*(1 + 0 – 5) = -4/4 = -1.

    u(1) = (1/4)*(2^1 + 4*1 – 5)
    = (1/4)*(2 + 4 – 5) = 1/4.

    v(0) = (1/4)*(2^0 – 4*0 + 5)
    = (1/4)*(1 – 0 + 5) = 6/4 = 3/2.

    v(1) = (1/4)*(2^1 – 4*1 + 5)
    = (1/4)*(2 – 4 + 5) = 3/4.

    Donc u(0) = -1, u(1) = 1/4, v(0) = 3/2, v(1) = 3/4.

    2) Pour montrer qu’une suite est géométrique, il faut partir de Pour tout n, a(n+1) = remplacer des égalités et arriver à = quelquechose*a(n).

    Pour tout n, a(n+1) = u(n+1) + v(n+1)
    = (1/4)*(2^(n+1) + 4*(n+1) – 5) + (1/4)*(2^(n+1) – 4*(n+1) + 5)
    = (1/4)*[ 2^(n+1) + 4*(n+1) – 5 + 2^(n+1) – 4*(n+1) + 5]
    = (1/4)*[ 2^(n+1)*2 ]
    = 2^(n+1)*(1/2) car (1/4)*2 = 1/2.

    Comme je n’arrive pas à q*a(n), je calcule a(n).

    a(n) = u(n) + v(n)
    = (1/4)*(2^n + 4*n – 5) + (1/4)*(2^n – 4*n + 5)
    = (1/4)*[2^n + 4*n – 5 + 2^n – 4*n + 5]
    = (1/4)*[2^n*2]
    = 2^n*(1/2) car (1/4)*2 = 1/2.

    On a donc a(n) = 2^n*(1/2) et a(n+1) = 2^(n+1)*(1/2) = 2*2^n*(1/2) = 2*a(n).
    Il existe q appartient à R, tel que, pour tout n, a(n+1) = q*a(n),
    donc (a(n)) est géométrique de raison q et de premier terme a(0) = u(0) + v(0) = -1 + 3/2 = 1/2.

    N’oublions pas que la formule d’une suite géométrique qui commence au rang n = 0 s’écrit a(n) = a(0)*q^n.

    Sa(n) = a(0) + a(1) + … + a(n)
    = (1/2)*2^0 + (1/2)*2^1 + (1/2)*2^2 + … + (1/2)*2^n
    = (1/2)* + (1/2)*2^1 + (1/2)*2^2 + … + (1/2)*2^n
    = (1/2)*[1 + 2^1 + 2^2 + … + 2^n]
    On utilise la formule 1 + q + q^2 + …. + q^n = (1 – q^(n+1))/(1 – q).

    Sa(n) = (1/2)*(1 – 2^(n+1))/(1 – 2).
    D’abord, le dénominateur : 1 – 2 = -1.
    On obtient, le numérateur divisé par -1, il suffit de changer les signes.
    Sa(n) = (1/2)*[2^(n+1) – 1] = 2^n – 1/2.

    3) Pour montrer qu’une suite est arithmétique, il faut partir de Pour tout n, b(n+1) = remplacer des égalités et arriver à = quelquechose + b(n).
    Ou alors, calculer b(n+1) – b(n) et arriver à une constante.

    Pour tout n :
    b(n+1) = u(n+1) – v(n+1)
    = (1/4)*(2^(n+1) + 4*(n+1) – 5) – (1/4)*(2^(n+1) – 4*(n+1) + 5)
    = (1/4)*[ 2^(n+1) + 4*(n+1) – 5 – ( 2^(n+1) – 4*(n+1) + 5) ]
    = (1/4)*[ 2^(n+1) + 4*(n+1) – 5 – 2^(n+1) + 4*(n+1) – 5 ]
    = (1/4)*[4n + 4 – 5 + 4n + 4 – 5]
    = (1/4)*[8n – 2]
    = 2n – 1/2.

    Pour tout n :
    b(n) = u(n) – v(n)
    = (1/4)*(2^n + 4n – 5) – (1/4)*(2^n + 4n + 5)
    = (1/4)*[ 2^n + 4n – 5 – (2^n – 4n + 5) ]
    = (1/4)*[ 2^n + 4n – 5 – 2^n + 4n – 5 ]
    = (1/4)*[8n – 10]
    = 2n – 5/2

    Pour tout n :
    b(n+1) – b(n) = 2n – 1/2 – (2n – 5/2) = 2n – 1/2 – 2n + 5/2 = 2.
    Donc (b(n)) est arithmétique de raison 4 et de premier terme b(0) = u(0) – v(0) = -1 – 3/2 = -5/2.

    La formule d’une suite arithmétique qui commence au rang 0 est b(n) = b(0) + n*r.

    Sb(n) = b(0) + b(1) + b(2) + … + b(n)
    = -5/2 + (2*1 – 5/2) + (2*2 – 5/2) + … + (2*n – 5/2)
    = (on a (n+1) fois le terme -5/2) …
    = -5/2*(n+1) + 2*[1 + 2 + 3 + … + n]

    Or 1 + 2 + 3 + … + n = n*(n+1)/2 d’après le cours donc :
    Sb(n) = -(5/2)n – 5/2 + 2*[n²/2 + n/2]
    = n² -(3/2)n – 5/2.

    4) Sa(n) = 2^n – 1/2 = Su(n) + Sv(n)
    Sb(n) = n² -(3/2)n – 5/2 = Su(n) – Sv(n).

    Pour obtenir Su(n), on additionne Sa(n) et Sb(n) puis on divise par 2 car les Sv(n) s’annulent.
    On a donc Su(n) = 0.5(2^n – 1/2 + n² -(3/2)n – 5/2)
    = 2^(n-1) – 3/2 + n²/2 – (3/4)n en développant.
    Pour obtenir Su(n), on fait (Sa(n) – Sb(n))/2 car les Su(n) se soustraient.
    On a donc Sv(n) = 0.5(2^n – 1/2 – n² + (3/2)n + 5/2)
    = 2^(n-1) + 1 – n²/2 + (3/4)n en développant.

    Voilà !


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