Trigonométrie – Calculs d’angles associés – Première S

octobre 1st, 2012

Category: Première S, Trigonométrie

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Exercice N°034 :

En utilisant les angles associés, exprimer les expressions suivantes en fonction de cos x et de sin x :

1) A = cos (xΠ) – sin(Πx) + cos (Π + x) – sin(-x)

2) B = sin x + cos (x + Π/2) + cos x – sin(x + Π/2)

Calculer les expressions suivantes en utilisant les angles associés :

3) C = sin /8 + sin /8 + sin 11Π/8 + sin 13Π/8

4) D = cos Π/10 + cos /5 + cos /5 + cos /10

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Trigonométrie – Mesures principales et cercle – Première S

Recherches utilisées pour trouver cet articletrigonometrie calculer en utilisant des angles associes et sans calculatrice

5 commentaires

  • Bartholomé dit :

    Bonjour !

    Je ne suis pas arrivé à résoudre l’équation 3) et 4).

    3) C = sin 3Π/8 + sin 5Π/8 + sin 11Π/8 + sin 13Π/8

    4) D = cos Π/10 + cos 2Π/5 + cos 3Π/5 + cos 9Π/10

    Merci de m’aider dans les plus brefs délais,

    • Sylvain dit :

      Bonjour,

      C = sin 3Π/8 + sin 5Π/8 + sin 11Π/8 + sin 13Π/8

      Le but est d’exprimer certains sinus en fonction des autres. Il faut une certaine habitude pour bien visualiser les liens entre les nombres.

      a) Dans un premier temps, il faut toujours regarder le dénominateur (ici 8) et regarder combien vaut 2Π avec ce même dénominateur. Ici 2Π vaut 16Π/8. 16 est donc un nombre important dans ce calcul.

      b) En analysant les nombres dans les différents termes, on voit que 3 + 13 = 16 et 5 + 11 = 16. On se dit qu’il y a quelque chose à faire en exprimant certains nombres en fonctions des autres. Par exemple, 13 = 16 – 3 et 11 = 16 – 5.

      Avec les Π, cela donne 13Π/8 = (16 – 3)Π/8 = 16Π/8 – 3Π/8 = 2Π – 3Π/8.
      De plus, 11Π/8 = (16 – 5)Π/8 = 16Π/8 – 5Π/8 = 2Π – 5Π/8.

      c) On arrive donc à C = sin 3Π/8 + sin 5Π/8 + sin (2Π – 3Π/8) + sin (2Π – 5Π/8).
      Une nouvelle astuce : la fonction sinus est périodique de période 2Π, donc pour tout X, sin(X + 2Π)= sin X.
      Ici sin (2Π – 3Π/8) = sin (-3Π/8) et sin (2Π – 5Π/8) = sin (-5Π/8).

      d) On arrive donc à C = sin 3Π/8 + sin 5Π/8 + sin (-3Π/8) + sin (-5Π/8).
      L’astuce suivante consiste à dire que la fonction sinus est impaire, soit pour tout X, sin(-X)= -sin X.
      Cela donne sin (-3Π/8) = -sin(3Π/8) et sin(-5Π/8) = -sin(5Π/8).

      e) On arrive donc à C = sin 3Π/8 + sin 5Π/8 + -sin(3Π/8) + -sin(5Π/8) qui est facilement calculable.

      Cela demande une certaine habitude pour mémoriser la méthode et l’appliquer seul(e).

      As-tu compris ou puis-je préciser un point ?
      Sylvain

      • Sylvain dit :

        D = cos Π/10 + cos 2Π/5 + cos 3Π/5 + cos 9Π/10

        Ici nous avons deux dénominateurs qui valent 10 et deux dénominateurs qui valent 5. C’est un indice qui nous dit qu’il faut regrouper les termes adéquats.

        D = cos Π/10 + cos 9Π/10 + cos 2Π/5 + cos 3Π/5

        J’ai dit dans le commentaire précédent qu’il fallait trouver quel est le numérateur pour avoir 2Π mais parfois cela fonctionne mieux avec Π.

        Π = 10Π/10 = 5Π/5.
        10 et 5 sont les deux nombres importants.

        On a vu dans le commentaire précédent qu’il faut exprimer un nombre en fonction de l’autre. 1 + 9 = 10 donc 9 = 10 – 1 et 2 + 3 = 5 donc 3 = 5 – 2.

        Je te laisse t’occuper des détails car c’est la même stratégie qu’au dessus.

        On arrive à D = cos Π/10 + cos (Π – Π/10) + cos 2Π/5 + cos (Π – 2Π/5).

        L’astuce principale ici est d’utiliser la formule “pour tout X, cos(Π – X) = -cos(X)” avec X = Π/10 et X = 2Π/5 et de simplifier le calcul.

        Arrives-tu à reproduire la méthode avec cet exemple et moins de détails ?

        Sylvain

  • Bartholomé dit :

    Merci pour tout ! C’est plus clair pour moi tout d’un coup ! J’arrive mieux à visualiser le cercle trigonométrique. Vous me sauvez !


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