Trigonométrie – Cercle d’Euler et mesures principales – Première S

avril 19th, 2013

Category: Première S, Trigonométrie

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Exercice N°138 :

1) Déterminer la mesure principale de ces angles :

a) 13Π/3,

b) 18Π/5,

c) –24Π/7,

d) 1024Π/16.

2) a) Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, placer les points A, B et C associés respectivement aux angles :

a = /3, b = /4 et c = Π/6.

exo138_a

b) Placer sur le cercle les points D, E et F associés respectivement aux angles :

alpha = a + b + c,

beta = b – c – a

et gamma = c – a – b.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Trigonométrie – Cercle et mesure principale d’angle – Première S

Correction :

1) Pour calculer la mesure d’un principale d’un angle, l’idéal est de mettre 2π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
2π = /3

La mesure principale doit se situer dans l’intervalle ]-π ; π]. Là aussi, l’idéal est de mette les π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
]-π ; π] = ]-/3 ; /3].

Si l’angle de départ est au delà de l’intervalle ]-π ; π], il faut enlever les 2π jusqu’à l’atteindre.
Si l’angle de départ est en deçà de l’intervalle ]-π ; π], il faut ajouter les 2π jusqu’à l’atteindre.

Du coup, comme j’ai tout mis sur le même dénominateur et qu’il y a des π partout, on peut partir de 13 (pour 13Π/3), ajouter plusieurs fois 6 (pour /3) pour arriver dans l’intervalle ]-3 ; 3] (pour ]-/3 ; /3]).

13 – 6 = 7
7 – 6 = 1
1 appartient bien à ]-3 ; 3] donc la mesure principale est /3.

Pour les trois autres angles, on fait de même et on obtient -2Π/5, /7 et /6 = 0.

2) a) Pour déterminer les placements des angles /3, /4 et Π/6, il faut penser à des gâteaux.
Un gâteau avec des parts de Π/3 est un gâteau avec un découpage pour 6 personnes.
Un gâteau avec des parts de Π/4 est un gâteau avec un découpage pour 8 personnes.
Un gâteau avec des parts de Π/6 est un gâteau avec un découpage pour 12 personnes.

Déjà, détermine la taille d’une part à partir de la gauche (l’angle 0), puis ajoute le nombre de parts de même taille pour arriver au bon angle.
Pour /3, vas jusqu’à 4 parts d’un gâteau de 6 personnes.
Pour /4, vas jusqu’à 3 parts d’un gâteau de 8 personnes.

Cercle trigonométrique

3) Pour additionner des angles, mets ceux-ci sur le même dénominateur.

alpha = /3 + /4 + Π/6

beta = /4Π/6/3

gamma = Π/6/3/4.

Dans les 3 cas, on met tout sur le dénominateur 12.

Les résultats sont :
alpha = 27Π/12 = /12 = Π/4 (en enlevant 2π)

beta = –/12 = –/4

gamma = –23Π/12 = Π/12 (en ajoutant 2π)

Y a-t-il des questions ?

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