Trigonométrie – Fonction, limite, variation, tangente – Terminale S

octobre 1st, 2013

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Limites, Terminale S, Trigonométrie

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Exercice N°251 :

1) Résoudre, sur ]– π ; π],
l’équation cos x = 0.
En déduire toutes les solutions, sur R, de cette équation.

On considère la fonction définie par :
f(x) = sin x/cos x.

2) Expliquer pourquoi f est définie sur R \ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}.

On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O,i, j).
3) Montrer que f(x + 2π) = f(x).

4) Montrer que f(x + π) = f(x).

5) Montrer que f est impaire. Donner une interprétation graphique de ce résultat.

Pour les questions suivantes, on étudie f sur l’intervalle
I = ]-π/2 ; π/2[.

6) Étudier
lim (x ↦ π/2, x < π/2) f(x)
et
lim (x ↦ –π/2, x > –π/2) f(x).

7) Justifier que f est dérivable sur I et montrer que
f'(x) = 1/(cos x)2.
En déduire les variations de f sur I et dresser son tableau de variation complet sur I

8) Compléter le tableau de valeurs suivant en donnant les valeurs exactes.
exo251_a

Expliquer pourquoi on peut en déduire immédiatement les images de
π/6, –π/4 et –π/3.

9) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe Cf au point d’abscisse 0.

10) Étudier sur I la position de la courbe Cf par rapport à (T).

11) Tracer la courbe représentative de f sur ]-π/2 ; π/2[ ⋃ ]π/2 ; /2[ dans le repère ci-dessous, en justifiant.

exo251_b

Bon courage,
Sylvain

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