Trigonométrie – Mesure principale, équation, calculs – Première S

avril 19th, 2013

Category: Première S, Trigonométrie

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Exercice N°140 :

1) Déterminer la mesure principale de -35π/4.

2) Résoudre avec un schéma sur [0 ; 2π] l’équation : sin(x) = -√2/2.

3) On donne (->u, ->v) = π/3 et (->u, ->w) = π/4.

Donner les mesures des angles suivants :

a) (->u, –->v),

b) (->u, 2->u),

c) (->v, ->w),

d) (-2->w, -5->u).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Géométrie 2D – Relations entre angles et triangles – Première S

Correction :

1) Pour calculer la mesure d’un principale d’un angle, l’idéal est de mettre 2π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
2π = /4

La mesure principale doit se situer dans l’intervalle ]-π ; π]. Là aussi, l’idéal est de mette les π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
]-π ; π] = ]-/4 ; /4].

Si l’angle de départ est au delà de l’intervalle ]-π ; π], il faut enlever les 2π jusqu’à l’atteindre.
Si l’angle de départ est en deçà de l’intervalle ]-π ; π], il faut ajouter les 2π jusqu’à l’atteindre.

Du coup, comme j’ai tout mis sur le même dénominateur et qu’il y a des π partout, on peut partir de -35 (pour -35Π/4), ajouter plusieurs fois 8 (pour /4) pour arriver dans l’intervalle ]-4 ; 4] (pour ]/4 ; /4]).

-35 + 8 = -27
-27 + 8 = -19
-19 + 8 = -19
-11 + 8 = -3
-3 appartient à ]-4 ; 4] donc la mesure principale est -3Π/4.

2) Pour résoudre sur [0 ; 2π] une équation du type sin(x) = -√2/2, il faut déjà arriver à la forme :
sin a = sin b.

Pour cela, regardons à quel angle correspond -√2/2 sur le cercle trigonométrique. Comme on parle de SINUS, on s’occupe de la HAUTEUR -√2/2.

Tout d’abord, -√2/2 correspond à environ -0,71 pour un cercle trigo qui a pour rayon 1.

Cercle trigonométrique angle moins pi sur quatre

Comme +√2/2 est le sinus de π/4,
la hauteur -√2/2 correspond à π/4.

On obtient donc : sin x = sin (π/4).

D’après le cours, si sin a = sin b, cela veut dire que :
a = b + 2π*k (k ∈ ℤ),
ou
a = π – b + 2π*k (k ∈ ℤ).

Dans notre cas :

x = π/4 + 2π*k (k ∈ ℤ),
ou
x = π – (-π/4) + 2π*k (k ∈ ℤ).

<=>

x = π/4 + 2π*k (k ∈ ℤ),
ou
x = /4 + 2π*k (k ∈ ℤ).

Ces deux égalités sont les solutions sur ℝ, maintenant il nous les faut sur l’intervalle [0 ; 2π]. Pour cela, on prend la première des égalités et on parcourt les différentes de k. 0, -1, -2, etc, puis 1, 2, etc. On vérifie si les valeurs trouvées sont dans l’intervalle ou non.

Pour la première égalité :
k = 0 donne π/4 qui n’est pas dans l’intervalle car en dessous. On ne descendra pas dans les k négatifs. Non.

k = 1 donne π/4 + 2π soit /4. Celui-ci est bien dans l’intervalle [0 ; 2π] voulu car 8/4 = 2. OK.

k = 2 donne 15π/4, donc on dépasse l’intervalle par le dessus. Non et on s’arrête là.

Pour la seconde égalité :
k = 0 donne /4, on est bien dedans. OK.

k = -1 donne -3π/4, on est en dessous. Non.

k = 1 donne 13π/4, on est au dessus. Non et on s’arrête là.

Pour conclure, S = { /4 ; /4 }.

3) On a (->u, ->v) = π/3
et (->u, ->w) = π/4.

a) (->u, –->v) :

Lorsqu’on a “un seul moins” devant un vecteur, cela renverse ce vecteur vers l’autre sens donc il se crée un demi-tour, soit un changement d’angle de π.

Angles moins pi

On a donc : (->u, –->v) = (->u, ->v) + π
= π/3 + π
= /3
= /3 (mesure principale).

b) (->u, 2->u) :

On a les vecteurs ->u et ->u qui sont dans la même direction et le même sens. Donc l’angle est nul. Comme 2 est positif, cela ne change rien au sens de ->u.
Donc (->u, 2->u) = 0.

angle plat zero radian degre

c) (->v, ->w) :

Comme on connaît ->u et ->v donc on peut faire Chasles entre ->v et ->w en plaçant ->u au milieu.

(->v, ->w) = (->v, ->u) + (->u, ->w).

(->v, ->u) se calcule en inversant le sens de
(->u, ->v) car si on va de ->v vers ->u, c’est en sens contraire de ->u vers ->v.
Donc :
(->v, ->u) = -(->u, ->v).

angles opposés sens moins

(->v, ->w) = (->v, ->u) + (->u, ->w)
= -(->u, ->v) + (->u, ->w)
= π/3 + π/4
= /12 + /12
= π/12

d) (-2->w, -5->u) :

Ici, on a deux “moins”. Comme vu dans le petit a), on peut enlever celui du vecteur gauche en ajoutant π à l’angle.
(-2->w, -5->u) = (2->w, -5->u) + π

On peut enlever celui du vecteur droit en ajoutant encore π à l’angle.
(2->w, 5->u) + π = (2->w, 5->u) + π + π

Les coefficients positifs ne changent pas la valeur de l’angle.
(2->w, -5->u) + π + π = (->w, ->u) + 2π

L’ajout de 2π représente un tour complet de l’angle donc on peut enlever le 2π car cela ne change rien à sa valeur.

(->w, ->u) + 2π = (->w, ->u)

Comme vu dans le petit c), on peut échanger les vecteurs en prenant l’opposé car on change de sens donc :

(->w, ->u)
= -(->u, ->w)
= π/4

Du coup, (-2->w, -5->u) = π/4

Y a-t-il des questions ?

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