Trigonométrie – Mesure principale et point sur cercle – Première S

avril 19th, 2013

Category: Première S, Trigonométrie

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Exercice N°135 :

Pour chacun des angles suivants :

11Π/3,

-33Π/4,

17Π/6.

1) Déterminer leur mesure principale.

2) Placer les points correspondants sur le cercle trigonométrique suivant.

exo135_a

->u, ->v et ->w sont trois vecteurs non nuls tels que
(->u ; ->v) = –Π/9 et
(->u ; ->w) = Π/4.

Déterminer la mesure principale des angles suivants :

3) (->v ; ->w),

4) (-->u ; ->v),

5) (-2->u ; ->w).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Vecteurs – Milieu, parallélogramme, Chasles, construction – Seconde

Correction :

1) Pour calculer la mesure d’un principale d’un angle, l’idéal est de mettre 2π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
2π = /3

La mesure principale doit se situer dans l’intervalle ]-π ; π]. Là aussi, l’idéal est de mette les π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
]-π ; π] = ]-/3 ; /3].

Si l’angle de départ est au delà de l’intervalle ]-π ; π], il faut enlever les 2π jusqu’à l’atteindre.
Si l’angle de départ est en deçà de l’intervalle ]-π ; π], il faut ajouter les 2π jusqu’à l’atteindre.

Du coup, comme j’ai tout mis sur le même dénominateur et qu’il y a des π partout, on peut partir de -11 (pour -11Π/3), ajouter plusieurs fois 6 (pour /3) pour arriver dans l’intervalle ]-3 ; 3] (pour ]-/3 ; /3]).

-11 + 6 = -5
-5 + 6 = 1
1 appartient bien à ]-3 ; 3] donc la mesure principale est /3.

Pour les deux autres angles, on fait de même et on obtient /4 et /6.

2) Pour déterminer les placements des angles /3, /4 et Π/6, il faut penser à des gâteaux.
Un gâteau avec des parts de Π/3 est un gâteau avec un découpage pour 6 personnes.
Un gâteau avec des parts de Π/4 est un gâteau avec un découpage pour 8 personnes.
Un gâteau avec des parts de Π/6 est un gâteau avec un découpage pour 12 personnes.

Déjà, détermine la taille d’une part à partir de la gauche (l’angle 0), puis ajoute le nombre de parts de même taille pour arriver au bon angle.

Pour Π/3, vas jusqu’à 1 part d’un gâteau de 6 personnes.
Pour Π/4, vas jusqu’à 1 part d’un gâteau de 8 personnes.
Pour /6, vas jusqu’à 5 parts d’un gâteau de 6 personnes.

correction_135_a

345) On a :
(->u ; ->v) = –Π/9 et
(->u ; ->w) = Π/4.

3) (->v, ->w) :

Comme on connaît ->u et ->v donc on peut faire Chasles entre ->v et ->w en plaçant ->u au milieu.

(->v, ->w)
= (->v, ->u) + (->u, ->w).

(->v, ->u) se calcule en inversant le sens de
(->u, ->v) car si on va de ->v vers ->u, c’est en sens contraire de ->u vers ->v.
Donc :
(->v, ->u) = -(->u, ->v).

angles opposés sens moins

(->v, ->w)
= (->v, ->u) + (->u, ->w)
= -(->u, ->v) + (->u, ->w)
= -(-Π/9) + Π/4
= /36 + /36
= 13π/36.

4) (-->u ; ->v) :

Lorsqu’on a “un seul moins” devant un vecteur, cela renverse ce vecteur vers l’autre sens donc il se crée un demi-tour, soit un changement d’angle de π. Dans le schéma ci-dessous les deux vecteurs ->u et ->v sont inversés.

Angles moins pi

On a donc : (-->u, ->v)
= (->u, ->v) + π
= –Π/9 + π
= /9

5) (-2->u ; ->w).

Ici, c’est pareil, c’est le signe “moins” qui compte devant, la valeur “2” ne change rien. Du coup, on fait +π aussi.

On a donc : (-2->u, ->w)
= (->u, ->v) + π
= Π/4 + π
= /4
= -3π/4 (mesure principale en enlevant 2π)

Y a-t-il des questions ?

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