Variations – Fonctions, valeur absolue, nombre dérivé – Première S

février 4th, 2014

Category: Fonctions, Première S

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Exercice N°371 :

Déterminer les variations de la fonction u et en déduire celles de v sur l’intervalle I indiqué, en justifiant pourquoi ces fonctions sont bien définies.

1) I = [-7 ; -1] ; u(x) = 1/x et v(x) = -8/x.

2) I =]-1 ; 0] ; u(x) = -2x + 5 et v(x) = √(-2x + 5).

3) I = [-5 ; -2] ; u(x) = x² – 2 et v(x) = 1/(x² – 2).

Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = |2x – 1| + |x + 3|.

4) Écrire une expression simple de f en discutant suivant les valeurs de x.

5) Résoudre l’équation f(x) = 4 sur ℝ.

Dans chacun des cas, déterminer si la fonction f est dérivable en a, et si c’est le cas, calculer f'(a).

6) f(x) = -x² + 3x – 1 et a = 2,

7) f(x) = √(x – 3) et a = 4,

8) f(x) = –1/3x + 5 et a = 3,

9) f(x) = |x + 2| et a = -2.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Probabilités – Evénements, sachant, arbre pondéré – Terminale ES

Correction :

Dans cet exercice de variation, on ne passera pas par la dérivation car en général tu n’as pas vu ce chapitre à ce moment là.

1) I = [-7 ; -1] ; u(x) = 1/x et v(x) = -8/x.

Une fonction de type fraction est définie quand son dénominateur est différent de 0. Ici le dénominateur est “x” et il doit être différent de 0. Donc c’est bon sur I = [-7 ; -1].

Pour étudier les variations de u, on doit prendre a < b et comparer f(a) et f(b).

Si on a f(a) < f(b), la fonction est strictement croissante (on garde le "<").

Si on a f(a) ≤ f(b), la fonction est juste croissante (on garde le sens de l’inégalité).

Si on a f(a) > f(b), la fonction est strictement décroissante (on passe à “>”).

Si on a f(a) ≥ f(b), la fonction est strictement décroissante (on change le sens de l’inégalité).

Allez !

-1 ≤ a < b ≤ -7

En passant à l’inverse :

1/(-1)1/a > 1/b1/(-7)

Le sens de l’inégalité change car la fonction “inverse” est strictement décroissante.

On obtient u(a) > u(b).

Pour tout a et b de l’intervalle I, a < b donne u(a) > u(b), donc la fonction u est strictement décroissante.

Pour v, on reprends :

-1 ≥ 1/a > 1/b ≥ –1/7

+8 ≤ (-8)/a < (-8)/b ≤ +8/7

On obtient v(a) < v(b).

Pour tout a et b de l’intervalle I, a < b donne v(a) < v(b), donc la fonction v est strictement croissante.

2) I =]-1 ; 0] ; u(x) = -2x + 5 et v(x) = √(-2x + 5).

u est une fonction affine dont le coefficient directeur -2 est négatif. Donc u est décroissante.

v est du type racine, il faut donc que l’intérieur soit positif ou nul. Du coup, tu peux faire le tableau de signe de la fonction u : -2x + 5.

-2x + 5 ≥ 0

<=> -2x ≥ -5

<=> x ≤ 5/2 (“moins” divisé par moins donne “plus”)

Comme a = -2 < 0, la courbe descend, donc la fonction u est d'abord positive puis négative. Donc positive avant 2.5. La racine existe donc pour x appartenant à ]-1 ; 0] donc v est bien définie.

Pour tout a et b tels que -1 ≤ a < b ≤ 0,

On a u(-1) ≥ u(a) > u(b) ≥ u(0) (changement des sens car u est décroissante)

√u(-1) ≥ √u(a) > √u(b) ≥ √u(0) car la fonction “racine ” est strictement croissante pour les réels positifs ou nuls.
v(-1) ≥ v(a) > v(b) ≥ v(0)

Pour tout a et b de l’intervalle I, a < b donne v(a) > v(b), donc la fonction v est strictement décroissante (car changement de sens de l’inégalité).

3) I = [-5 ; -2] ; u(x) = x² – 2 et v(x) = 1/(x² – 2)

u est une fonction polynôme donc définie sur ℝ. Comme on divise par u(x) pour obtenir la fraction v(x), il faut que u(x) soit différent de 0 sur l’intervalle [-5 ; -2]. Pour cela, on fait un Δ (=8) , x1 (= -√2) et x2 (= +√2) et on voit qu’ils ne sont pas dans l’intervalle.

Comme on ne divise pas par 0, v est bien définie sur I = [-5 ; -2].

Pour la variation, pour tout a et b appartenant à I tel que a < b :

-5 ≤ a < b ≤ -2

(-5)2 ≥ a2 > b2 ≥ (-2)2 (on change les sens car la fonction “carré” est décroissante sur ]-∞ ; 0].

25 – 2 ≥ a2 – 2 > b2 -2 ≥ 2
A partir de a < b, on obtient donc au milieu u(a) > u(b) donc u est strictement décroissante sur I.

Comme on doit passer par l’inverse pour obtenir v, v devient strictement croissante car “inverse” change le sens de variation (inverse est décroissante).

4) f(x) = |2x – 1| + |x + 3|

Des valeurs absolues !
Première chose à faire, c’est d’étudier le signe du contenu des valeurs absolues entre les “|””|”.

Quand A ≥ 0, |A| = A.

Quand A < 0, |A| = -A.

2x – 1 ≥ 0 quand x ≥ 1/2. Donc – 0 + car a = 2 > 0.
Du coup, |2x-1| s’écrit d’abord -(2x-1) car l’intérieur est négatif puis 2x-1 car l’intérieur est positif.
x + 3 ≥ 0 quand x ≥ -3. Donc – 0 + car a = 1 > 0.
Du coup, |x+3| s’écrit d’abord -(x+3) car l’intérieur est négatif puis x+3 car l’intérieur est positif.

Fonction et signe de l'intérieur d'une valeur absolue

5) Pour résoudre f(x) = 4, on résout sur chaque intervalle :

-3x – 2 = 4 sur ]-infini ; -3 ]
<=> -3x = 6
<=> x = -2 et on sort de l’intervalle donc cela ne marche pas.

-x + 4 = 4 sur [ -3 ; 1/2 ]
<=> -x = 0
<=> x = 0 que l’on conserve car on est bien dans l’intervalle.

3x + 2 = 4 sur [ 1/2 ; + infini [
<=> 3x = 2
<=> x = 2/3 que l’on conserve car on est bien dans l’intervalle.

On a donc S = {0 ; 2/3}.
Courbe de fonction avec valeur absolue et équation

Quand on calcule un éventuel nombre dérivé f'(a) en x = a, on cherche à trouver [f(a+h) – f(a)]/[a+h – a] en fonction de h.
Puis on tend ce h vers 0 pour arriver à une limite.
Si tu trouves une constante, tu obtiens que la fonction est dérivable en x = a et que ce nombre est f'(a).

6)
Détermination d'un nombre dérivé par le calcul

7)
Nombre dérivé avec fonction racine carrée
J’ai oublié le “h” devant la flèche “->”.

8)
Calcul d'un nombre dérivé avec fonction affine

9) En a=-2, x+2=0, donc la valeur absolue est nulle et elle n’est pas dérivable. On est sur la “pointe” des deux demi-droite, il n’y pas de nombre dérivé, ni tangente possible.

Recherches utilisées pour trouver cet articleexercice valeur absolue variations,exercices fonction valeur absolue première S,variation valeur absolue négative

1 commentaire

  • Sylvain dit :

    Quand on calcule un éventuel nombre dérivé f'(a) en x = a, on cherche à trouver [f(a+h) – f(a)]/[a+h – a] en fonction de h.
    Puis on tend ce h vers 0 pour arriver à une limite.
    Si tu trouves une constante, tu obtiens que la fonction est dérivable en x = a et que ce nombre est f'(a).

    6) Détermination d'un nombre dérivé par le calcul

    7) Nombre dérivé avec fonction racine carrée
    J’ai oublié le “h” vant la flèche “->”.

    8) Calcul d'un nombre dérivé avec fonction affine

    9) En a=-2, x+2=0, donc la valeur absolue est nulle et elle n’est pas dérivable. On est sur la “pointe” des deux demi-droite, il n’y pas de nombre dérivé, ni tangente possible.


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