Vecteurs – Quadrilatère, parallélogramme, losange, milieu – Seconde

avril 4th, 2013

Category: Géométrie 2D/3D et Repérage, Seconde, Vecteur et Produits Scalaires

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Exercice N°125 :

1) Dans un repère orthonormé, on donne les points : A(-2 ; 4), B(3 ; 3) C(-1 ; 0) et D(4 ; -1).

a) Démontrer que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

b) Le quadrilatère ABDC est-il aussi un losange ?

Attention !! Ceci est un nouvel exercice, les données précédentes doivent être effacées !!

2) On donne des nouveaux points A(0 ; 0), B(2 ; 1), C(-2 ; 3), E(-3 ; -2) et F(1 ; 5).

a) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

b) Démontrer l’égalité ->AE = ->FC. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère AECF ?

c) Montrer que [FE] et [BD] ont même milieu.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Vecteurs – Coordonnées, alignement, colinéarité, longueur – Seconde

3 commentaires

  • Hélène dit :

    Bonsoir/bonjour !

    Pourriez vous mettre la correction s’il vous plait ? Merci beaucoup

    • Sylvain dit :

      1a) Pour démontrer que ABDC est un parallélogramme, il suffit de démontrer que Vecteur(AB) = Vecteur(CD). Les deux dernières lettres sont inversées !

      Vecteur(AB)
      {
      xAB = xB – xA = 3 – (-2) = 5 ;
      yAB = yB – yA = 3 – 4 = -1.

      Vecteur(CD)
      {
      xCD = xD – xC = 4 – (-1) = 5;
      yCD = yD – yC = -1 – 0 = -1.

      Les coordonnées des vecteurs AB et CD sont les mêmes donc Vecteur(AB) = Vecteur(CD). Du coup, ABDC est un parallélogramme.

      1b) Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.
      Calculons donc AB et BD séparément (qui sont deux côtés consécutifs dans le parallélogramme).
      Pour ça, on utilise la formule de la distance AB = Racine( (xB – xA)² + (yB – yA)²) ).

      On a déjà calculé xB – xA et yB – yA au desssus :
      AB = Racine ( 5² + (-1)² ) = Racine(26).

      BD = Racine ( (xD – xB)² + (yD – yB)² )
      = Racine ( (4 – 3)² + ((-1) – 3)² )
      = Racine ( 1² + (-4)² ) = Racine(17).

      AB différent de BD donc les côtés consécutifs ne sont pas égaux, donc ABDC n’est pas un losange.

      2a) Attention, ce sont des nouvelles données indépendantes des premières, il faut noter celles-ci sur une nouvelle feuille!

      La suite ce soir..

      • Sylvain dit :

        2a) On veut que ABCD soit un parallélogramme donc Vecteur(AB) doit être égal à Vecteur(DC).
        Cette égalité vectorielle équivaut à un système de coordonnées de vecteurs.

        {
        xAB = xDC
        yAB = yDC

        < =>
        {
        xB – xA = xC – xD (d’après le cours)
        yB – yA = yC – yD

        < =>
        {
        2 – 0 = -2 – xD
        1 – 0 = 3 – xD

        < =>
        {
        2 + 2 = – xD
        1 – 3 = – yD
        (en isolant les coordonnées de D à droite)

        < =>
        {
        xD = -4
        yD = 2
        (en multipliant par -1)

        2b) Pour démontrer que Vecteur(AE) = Vecteur(FC), on calcule les coordonnées de ces vecteurs séparément.

        xAE = xE – xA = -3 – 0 = -3
        yAE = yE – yA = -2 – 0 = -2
        xFC = xC – xF = -2 – 1 = -3
        yFC = yC – yF = 3 – 5 = -2
        Les deux vecteurs ont même coordonnées donc ils sont égaux.
        Du coup, AECF est un parallélogramme.

        2c) Pour montrer que [FE] et [BD] ont même milieu, utilisons la formule des coordonnées d’un milieu sur les deux segments.

        Milieu de [FE] :
        (xF + xE)/2 = 1 + (-3) = -2
        (yF + yE)/2 = 5 + (-2) = 3

        Milieu de [BD] :
        (xB + xD)/2 = 2 + (-4) = -2
        (yB + yD)/2 = 1 + 2 = 3

        Les deux milieux ont les mêmes coordonnées donc c’est le même milieu.


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