Vecteurs – Quadrilatère, parallélogramme, losange, milieu – Seconde

avril 4th, 2013

Category: Géométrie 2D/3D et Repérage, Seconde, Vecteur et Produits Scalaires

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Exercice N°125 :

vecteurs maths seconde

Exercice N°125 :

Dans un repère orthonormé, on donne les points :
A(-2 ; 4), B(3 ; 3) C(-1 ; 0) et D(4 ; -1).

1) Démontrer que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

2) ABDC est-il un losange ?

Sur un autre dessin, on donne des nouveaux points :
G(0 ; 0), H(2 ; 1), K(-2 ; 3), E(-3 ; -2) et F(1 ; 5).

3) Déterminer les coordonnées du point L tel que GHKL soit un parallélogramme.

4) Démontrer l’égalité ->GE = ->FK. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère GEKF ?

5) Montrer que [FE] et [HL] ont même milieu.

Bon courage,
Sylvain

astuces exercices maths corrigé

Exercice précédent : Vecteurs – Coordonnées, alignement, colinéarité, longueur – Seconde

1 commentaire

  • Sylvain Jeuland dit :

    Corrigé :

    1) Pour démontrer que ABDC est un parallélogramme, il suffit de démontrer que Vecteur(AB) = Vecteur(CD). Les deux dernières lettres sont inversées !

    Vecteur(AB)
    {
    xAB = xB – xA = 3 – (-2) = 5 ;
    yAB = yB – yA = 3 – 4 = -1.

    Vecteur(CD)
    {
    xCD = xD – xC = 4 – (-1) = 5;
    yCD = yD – yC = -1 – 0 = -1.

    Les coordonnées des vecteurs AB et CD sont les mêmes donc Vecteur(AB) = Vecteur(CD). Du coup, ABDC est un parallélogramme.

    2) Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.
    Calculons donc AB et BD séparément (qui sont deux côtés consécutifs dans le parallélogramme).
    Pour ça, on utilise la formule de la distance AB = Racine( (xB – xA)² + (yB – yA)²) ).

    On a déjà calculé xB – xA et yB – yA au desssus :
    AB = Racine ( 5² + (-1)² ) = Racine(26).

    BD = Racine ( (xD – xB)² + (yD – yB)² )
    = Racine ( (4 – 3)² + ((-1) – 3)² )
    = Racine ( 1² + (-4)² ) = Racine(17).

    AB différent de BD donc les côtés consécutifs ne sont pas égaux, donc ABDC n’est pas un losange.

    3) On veut que GHKL soit un parallélogramme donc Vecteur(GH) doit être égal à Vecteur(LK).
    Cette égalité vectorielle équivaut à un système de coordonnées de vecteurs.

    {
    xGH = xLK
    yGH = yLK

    < =>
    {
    xH – xG = xK – xL (d’après le cours)
    yH – yG = yK – yL

    < =>
    {
    2 – 0 = -2 – xl
    1 – 0 = 3 – xL

    < =>
    {
    2 + 2 = – xL
    1 – 3 = – yL
    (en isolant les coordonnées de L à droite)

    < =>
    {
    xL = -4
    yL = 2
    (en multipliant par -1)

    4) Pour démontrer que Vecteur(GE) = Vecteur(FK), on calcule les coordonnées de ces vecteurs séparément.

    xGE = xE – xG = -3 – 0 = -3
    yGE = yE – yG = -2 – 0 = -2
    xFK = xK – xF = -2 – 1 = -3
    yFK = yK – yF = 3 – 5 = -2
    Les deux vecteurs ont même coordonnées donc ils sont égaux.
    Du coup, GEKF est un parallélogramme.

    5) Pour montrer que [FE] et [HL] ont même milieu, utilisons la formule des coordonnées d’un milieu sur les deux segments.

    Milieu de [FE] :
    (xF + xE)/2 = 1 + (-3) = -2
    (yF + yE)/2 = 5 + (-2) = 3

    Milieu de [HL] :
    (xH + xL)/2 = 2 + (-4) = -2
    (yH + yL)/2 = 1 + 2 = 3

    Les deux milieux ont les mêmes coordonnées, donc c’est le même milieu pour les deux segments.

    Bonne compréhension,
    Sylvain


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