Exercice N°062 :

Dans un repère orthonormé, on donne la droite (d) d’équation
2x – 3y + 6 = 0,
le point A(1 ; 7) et le vecteur ->v(2 ; -3).

exo062_a

1) Dans ce repère, tracer (d), placer A et construire ->v.

2) Donner les coordonnées d’un vecteur ->u directeur de (d).

3) Construire le vecteur ->w (laisser les traces de construction) défini par
->w = 2->u – 1/2->v.

4) Calculer ensuite les coordonnées de ->w.

5) ->v et ->w sont-ils colinéaires ?

6) Déterminer une équation cartésienne de la droite (d’) passant par A et de vecteur ->v, puis la tracer.

7) Donner les coordonnées du point d’intersection de (d) et (d’).

8) Déterminer une équation cartésienne de la droite (d”) parallèle à (d) passant par A puis tracer (d”).

Bon courage,
Sylvain

Corrigé : Corrigé N°062 – Vecteurs, droites, équation cartésienne – Première S

Exercice précédent : Géométrie 2D et Droites – Equations, points d’intersections – Seconde

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2 commentaires

  • Duncan dit :

    Bonjour, j’ai répondu à toutes les questions mais je ne suis pas certains à 100% de mes résultats. Pourriez vous m’envoyer un corrigé de l’exercice?
    Merci d’avance!

  • Sylvain dit :

    1) Voir dessin plus tard.

    2) L’un des vecteurs directeurs d’une droite d’équation ax + by + c = 0 est Vect(u) ( -b ; a).

    Avec 2x – 3y + 6 = 0, a = 2 et b = -3. Donc Vect(u) a pour coordonnées ( 3 ; 2 ).

    3)On doit tracer Vect(w) = 2*Vect(u) – (1/2)*Vect(v).

    Je trouve mon vecteur w par le calcul.
    Avec (2 ; -3) et le (3 ; 2) que j’ai choisi cela donne :
    xw = 2*2 – 0.5*3 = 4 – 1.5 = 2.5
    yw = 2*(-3) – 0.5*2 = -6 – 1 = -7
    Vect(w) a pour coordonnées (2.5 ; -7).

    Je trouve mon vecteur w par le calcul.

    4) Je n’aime pas cette question car Vect(w) dépend du vecteur Vect(u) que tu as choisi au départ.
    Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur coordonnées sont proportionnelles.

    Du coup, je fais le petit tableau suivant :
    Vect(v) : x | y
    Vect(w) : x’| y’
    soit
    2 | -3
    4 | -7
    Je fais les produits en croix pour vérifier ou infirmer la proportionnalité.
    D’une part, 2*(-7) = -14.
    D’autre part, 4*(-3) = -12.
    Les produits en croix sont différents donc le tableau n’est proportionnel. Les coordonnées ne sont donc pas proportionnelles donc les vecteur ne sont pas colinéaires.

    5) On souhaite déterminer une équation cartésienne de vecteur directeur Vect(v). Du coup, notre (2 ; -3) est notre (-b ; a).
    On a 2 = -b, soit b = -2.
    On a -3 = a.

    En effet, le couple (a;b) donne l’orientation de la droite.

    L’équation de droite dirigée par Vect(v) s’écrit donc -3x – 2y + c = 0. Il reste à trouver la valeur de c.

    Le coefficient c donne “l’élévation” de la droite. Pour ce faire, je remplace les coordonnées x et y par celles de A car ce point est sur la droite. On a donc :
    -3xA – 2yA + c = 0
    -3*1 – 2*7 + c = 0
    -17 + c = 0
    c = 17
    L’équation est : -3x – 2y + 17 = 0

    6) Pour trouver l’intersection de deux droites (si celles-ci ne sont pas parallèles), il faut que le point soit à la fois sur les deux droites, donc que ses coordonnées vérifient les deux équations à la fois. On fait donc un système.

    { 2x – 3y + 6 = 0
    { -3x – 2y + 17 = 0
    équivaut à
    { 2x = 3y – 6
    { -3x = 2y – 17
    équivaut à
    { 6x = 9y – 18 en faisant *3
    { 6x = -4y + 34 en faisant *(-2)
    équivaut à
    { -4y + 34 = 9y – 18
    { 6x = 9y – 18
    équivaut à
    { y = 4
    { 6x = 9*4 – 18 = 18
    équivaut à
    { y = 4
    { x = 3
    Le point d’intersection I a pour coordonnées (3 ; 4).

    Comme (d’) passe par A, je peux la tracer car elle passe aussi par I.
    Comme (d) a pour vecteur directeur Vect(u), je peux la diriger selon ce vecteur à partir de I. Donc je peux la tracer.
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    7) Je veux une droite (d”) // à (d) donc je peux prendre les même a et b, soit :
    2x – 3y + c = 0

    Par contre, je dois changer le c en le faisant passer par A. Je remplace x et y par les coordonnées de A :
    2*1 – 3*7 + c =0
    -19 + c = 0
    c = 19
    On a donc : 2x – 3y + 19 = 0 pour (d”).

    Tout a bien été compris ?


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